Номер 3, страница 35, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 2. Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 17. Тождественные преобразования выражений, содержащих арифметические квадратные корни - номер 3, страница 35.

Условие.

3. Упростите выражение:

1) $\sqrt{81a} + \sqrt{16a} - \sqrt{121a} = 9\sqrt{a} + 4\sqrt{a} - 11\sqrt{a} =$

2) $\sqrt{100c} - \sqrt{400c} + \sqrt{900c} =$

3) $\sqrt{45} + \sqrt{80} - \sqrt{500} = \sqrt{9 \cdot 5} + \sqrt{16 \cdot 5} - \sqrt{100 \cdot 5} =$

4) $\sqrt{8} + \sqrt{50} - \sqrt{18} =$

5) $\sqrt{150p} - \sqrt{54p} + \sqrt{24p} = \sqrt{25 \cdot 6p} - \sqrt{9 \cdot 6p} + =$

6) $\sqrt{396m} + 2\sqrt{44m} - 15\sqrt{176m} =$

Решение.

1) $\sqrt{81a} + \sqrt{16a} - \sqrt{121a}$
Чтобы упростить выражение, необходимо вынести множители из-под знака корня. Так как $81 = 9^2$, $16 = 4^2$ и $121 = 11^2$, получаем:
$\sqrt{81a} + \sqrt{16a} - \sqrt{121a} = \sqrt{9^2 \cdot a} + \sqrt{4^2 \cdot a} - \sqrt{11^2 \cdot a} = 9\sqrt{a} + 4\sqrt{a} - 11\sqrt{a}$.
Теперь приведем подобные слагаемые, вынеся общий множитель $\sqrt{a}$ за скобки:
$(9+4-11)\sqrt{a} = (13-11)\sqrt{a} = 2\sqrt{a}$.
Ответ: $2\sqrt{a}$.

2) $\sqrt{100c} - \sqrt{400c} + \sqrt{900c}$
Вынесем множители из-под знака корня. Так как $100 = 10^2$, $400 = 20^2$ и $900 = 30^2$, получаем:
$\sqrt{100c} - \sqrt{400c} + \sqrt{900c} = \sqrt{10^2 \cdot c} - \sqrt{20^2 \cdot c} + \sqrt{30^2 \cdot c} = 10\sqrt{c} - 20\sqrt{c} + 30\sqrt{c}$.
Приведем подобные слагаемые:
$(10-20+30)\sqrt{c} = 20\sqrt{c}$.
Ответ: $20\sqrt{c}$.

3) $\sqrt{45} + \sqrt{80} - \sqrt{500}$
Для упрощения разложим подкоренные выражения на множители, выделив полные квадраты:
$45 = 9 \cdot 5 = 3^2 \cdot 5$
$80 = 16 \cdot 5 = 4^2 \cdot 5$
$500 = 100 \cdot 5 = 10^2 \cdot 5$
Подставим разложения в исходное выражение и вынесем множители из-под знака корня:
$\sqrt{9 \cdot 5} + \sqrt{16 \cdot 5} - \sqrt{100 \cdot 5} = 3\sqrt{5} + 4\sqrt{5} - 10\sqrt{5}$.
Приведем подобные слагаемые:
$(3+4-10)\sqrt{5} = (7-10)\sqrt{5} = -3\sqrt{5}$.
Ответ: $-3\sqrt{5}$.

4) $\sqrt{8} + \sqrt{50} - \sqrt{18}$
Разложим подкоренные выражения на множители, выделив полные квадраты:
$8 = 4 \cdot 2 = 2^2 \cdot 2$
$50 = 25 \cdot 2 = 5^2 \cdot 2$
$18 = 9 \cdot 2 = 3^2 \cdot 2$
Подставим разложения в выражение и вынесем множители из-под знака корня:
$\sqrt{4 \cdot 2} + \sqrt{25 \cdot 2} - \sqrt{9 \cdot 2} = 2\sqrt{2} + 5\sqrt{2} - 3\sqrt{2}$.
Приведем подобные слагаемые:
$(2+5-3)\sqrt{2} = (7-3)\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$.
Ответ: $4\sqrt{2}$.

5) $\sqrt{150p} - \sqrt{54p} + \sqrt{24p}$
Разложим коэффициенты при переменной $p$ под корнем на множители, выделив полные квадраты:
$150 = 25 \cdot 6 = 5^2 \cdot 6$
$54 = 9 \cdot 6 = 3^2 \cdot 6$
$24 = 4 \cdot 6 = 2^2 \cdot 6$
Подставим разложения в выражение и вынесем множители из-под знака корня:
$\sqrt{25 \cdot 6p} - \sqrt{9 \cdot 6p} + \sqrt{4 \cdot 6p} = 5\sqrt{6p} - 3\sqrt{6p} + 2\sqrt{6p}$.
Приведем подобные слагаемые:
$(5-3+2)\sqrt{6p} = (2+2)\sqrt{6p} = 4\sqrt{6p}$.
Ответ: $4\sqrt{6p}$.

6) $\sqrt{396m} + 2\sqrt{44m} - 15\sqrt{176m}$
Разложим коэффициенты при переменной $m$ под корнем на множители, выделив полные квадраты:
$396 = 36 \cdot 11 = 6^2 \cdot 11$
$44 = 4 \cdot 11 = 2^2 \cdot 11$
$176 = 16 \cdot 11 = 4^2 \cdot 11$
Подставим разложения в выражение и упростим каждый член:
$\sqrt{36 \cdot 11m} + 2\sqrt{4 \cdot 11m} - 15\sqrt{16 \cdot 11m} = 6\sqrt{11m} + 2 \cdot (2\sqrt{11m}) - 15 \cdot (4\sqrt{11m})$.
$6\sqrt{11m} + 4\sqrt{11m} - 60\sqrt{11m}$.
Приведем подобные слагаемые:
$(6+4-60)\sqrt{11m} = (10-60)\sqrt{11m} = -50\sqrt{11m}$.
Ответ: $-50\sqrt{11m}$.