Номер 10, страница 38, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 2. Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 17. Тождественные преобразования выражений, содержащих арифметические квадратные корни - номер 10, страница 38.

Условие.

10. Сократите дробь:

1) $\frac{a^2 - 6}{a - \sqrt{6}};$

Разложив числитель данной дроби на множители с помощью формулы разности квадратов, получаем:

$\frac{a^2 - 6}{a - \sqrt{6}} = \frac{a^2 - (\sqrt{6})^2}{a - \sqrt{6}} = \frac{(a - \sqrt{6})(a + \sqrt{6})}{a - \sqrt{6}} = $

2) $\frac{\sqrt{b} + 7}{b + 14\sqrt{b} + 49};$

Разложив знаменатель данной дроби на множители с помощью формулы квадрата суммы, получаем:

$\frac{\sqrt{b} + 7}{b + 14\sqrt{b} + 49} = \frac{\sqrt{b} + 7}{(\sqrt{b})^2 + 2 \cdot 7 \cdot \sqrt{b} + 7^2} = $

3) $\frac{c - 2\sqrt{c} + 1}{c - 1} = $

4) $\frac{3 + \sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{(\sqrt{3})^2 + \sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}( )}{\sqrt{3}} = $

5) $\frac{\sqrt{18}}{2 - \sqrt{2}} = $

6) $\frac{25 + 2\sqrt{5}}{2\sqrt{3} + 5\sqrt{15}} = \frac{5 \cdot (\sqrt{5})^2 + 2\sqrt{5}}{2\sqrt{3} + 5\sqrt{5 \cdot 3}} = \frac{\sqrt{5}(}{\sqrt{3}(} = $

7) $\frac{\sqrt{6a} - \sqrt{12a}}{2 - \sqrt{8}} = $

8) $\frac{a\sqrt{a} - 11\sqrt{11}}{\sqrt{a} - \sqrt{11}}$

Применив формулу разности кубов, получаем:

$\frac{a\sqrt{a} - 11\sqrt{11}}{\sqrt{a} - \sqrt{11}} = \frac{(\sqrt{a})^3 - (\sqrt{11})^3}{\sqrt{a} - \sqrt{11}} = $

9) $\frac{c\sqrt{c} + 1000}{c - 10\sqrt{c} + 100} = $

Решение.

1)

Чтобы сократить дробь $\frac{a^2 - 6}{a - \sqrt{6}}$, разложим ее числитель на множители, используя формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$.

Представим 6 как $(\sqrt{6})^2$.

$\frac{a^2 - (\sqrt{6})^2}{a - \sqrt{6}} = \frac{(a - \sqrt{6})(a + \sqrt{6})}{a - \sqrt{6}}$

Сократим общий множитель $(a - \sqrt{6})$ в числителе и знаменателе.

$\frac{\cancel{(a - \sqrt{6})}(a + \sqrt{6})}{\cancel{a - \sqrt{6}}} = a + \sqrt{6}$

Ответ: $a + \sqrt{6}$

2)

Чтобы сократить дробь $\frac{\sqrt{b} + 7}{b + 14\sqrt{b} + 49}$, разложим ее знаменатель на множители, используя формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

В знаменателе $b = (\sqrt{b})^2$, $49 = 7^2$, и $14\sqrt{b} = 2 \cdot 7 \cdot \sqrt{b}$. Таким образом, знаменатель является полным квадратом.

$\frac{\sqrt{b} + 7}{(\sqrt{b})^2 + 2 \cdot 7 \cdot \sqrt{b} + 7^2} = \frac{\sqrt{b} + 7}{(\sqrt{b} + 7)^2}$

Сократим общий множитель $(\sqrt{b} + 7)$.

$\frac{\sqrt{b} + 7}{(\sqrt{b} + 7)(\sqrt{b} + 7)} = \frac{1}{\sqrt{b} + 7}$

Ответ: $\frac{1}{\sqrt{b} + 7}$

3)

Чтобы сократить дробь $\frac{c - 2\sqrt{c} + 1}{c - 1}$, разложим на множители числитель и знаменатель.

Числитель $c - 2\sqrt{c} + 1$ является полным квадратом разности $(\sqrt{c} - 1)^2$, так как $c=(\sqrt{c})^2$, $1=1^2$, и $-2\sqrt{c} = -2 \cdot \sqrt{c} \cdot 1$.

Знаменатель $c - 1$ является разностью квадратов $(\sqrt{c})^2 - 1^2$, что равно $(\sqrt{c} - 1)(\sqrt{c} + 1)$.

$\frac{(\sqrt{c} - 1)^2}{(\sqrt{c} - 1)(\sqrt{c} + 1)}$

Сократим общий множитель $(\sqrt{c} - 1)$.

$\frac{(\sqrt{c} - 1)\cancel{(\sqrt{c} - 1)}}{\cancel{(\sqrt{c} - 1)}(\sqrt{c} + 1)} = \frac{\sqrt{c} - 1}{\sqrt{c} + 1}$

Ответ: $\frac{\sqrt{c} - 1}{\sqrt{c} + 1}$

4)

Чтобы сократить дробь $\frac{3 + \sqrt{3}}{\sqrt{3}}$, вынесем в числителе общий множитель $\sqrt{3}$.

Поскольку $3 = (\sqrt{3})^2$, получаем:

$\frac{(\sqrt{3})^2 + \sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}(\sqrt{3} + 1)}{\sqrt{3}}$

Сократим общий множитель $\sqrt{3}$.

$\frac{\cancel{\sqrt{3}}(\sqrt{3} + 1)}{\cancel{\sqrt{3}}} = \sqrt{3} + 1$

Ответ: $\sqrt{3} + 1$

5)

Чтобы сократить дробь $\frac{\sqrt{18}}{2 - \sqrt{2}}$, сначала упростим выражения в числителе и знаменателе.

$\sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2}$.

В знаменателе вынесем общий множитель $\sqrt{2}$: $2 - \sqrt{2} = (\sqrt{2})^2 - \sqrt{2} = \sqrt{2}(\sqrt{2}-1)$.

$\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{2}(\sqrt{2} - 1)}$

Сократим общий множитель $\sqrt{2}$.

$\frac{3}{\sqrt{2} - 1}$

Теперь избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(\sqrt{2}+1)$.

$\frac{3(\sqrt{2} + 1)}{(\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} + 1)} = \frac{3\sqrt{2} + 3}{(\sqrt{2})^2 - 1^2} = \frac{3\sqrt{2} + 3}{2 - 1} = 3\sqrt{2} + 3$

Ответ: $3\sqrt{2} + 3$

6)

Чтобы сократить дробь $\frac{25 + 2\sqrt{5}}{2\sqrt{3} + 5\sqrt{15}}$, вынесем общие множители в числителе и знаменателе.

В числителе вынесем $\sqrt{5}$: $25 + 2\sqrt{5} = 5\sqrt{5}\sqrt{5} + 2\sqrt{5} = \sqrt{5}(5\sqrt{5} + 2)$.

В знаменателе преобразуем $\sqrt{15} = \sqrt{3}\sqrt{5}$ и вынесем $\sqrt{3}$: $2\sqrt{3} + 5\sqrt{3}\sqrt{5} = \sqrt{3}(2 + 5\sqrt{5})$.

$\frac{\sqrt{5}(5\sqrt{5} + 2)}{\sqrt{3}(2 + 5\sqrt{5})}$

Так как $5\sqrt{5} + 2 = 2 + 5\sqrt{5}$, сократим этот общий множитель.

$\frac{\sqrt{5}\cancel{(5\sqrt{5} + 2)}}{\sqrt{3}\cancel{(2 + 5\sqrt{5})}} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе: $\frac{\sqrt{5} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{15}}{3}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{15}}{3}$

7)

Чтобы сократить дробь $\frac{\sqrt{6a} - \sqrt{12a}}{2 - \sqrt{8}}$, разложим на множители числитель и знаменатель (при $a \ge 0$).

В числителе: $\sqrt{6a} - \sqrt{12a} = \sqrt{6a} - \sqrt{2 \cdot 6a} = \sqrt{6a} - \sqrt{2}\sqrt{6a} = \sqrt{6a}(1 - \sqrt{2})$.

В знаменателе: $2 - \sqrt{8} = 2 - \sqrt{4 \cdot 2} = 2 - 2\sqrt{2} = 2(1 - \sqrt{2})$.

$\frac{\sqrt{6a}(1 - \sqrt{2})}{2(1 - \sqrt{2})}$

Сократим общий множитель $(1 - \sqrt{2})$.

$\frac{\sqrt{6a}\cancel{(1 - \sqrt{2})}}{2\cancel{(1 - \sqrt{2})}} = \frac{\sqrt{6a}}{2}$

Ответ: $\frac{\sqrt{6a}}{2}$

8)

Чтобы сократить дробь $\frac{a\sqrt{a} - 11\sqrt{11}}{\sqrt{a} - \sqrt{11}}$, применим формулу разности кубов $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$.

Представим числитель как $(\sqrt{a})^3 - (\sqrt{11})^3$.

$(\sqrt{a})^3 - (\sqrt{11})^3 = (\sqrt{a} - \sqrt{11})((\sqrt{a})^2 + \sqrt{a}\sqrt{11} + (\sqrt{11})^2) = (\sqrt{a} - \sqrt{11})(a + \sqrt{11a} + 11)$.

Подставим в дробь:

$\frac{(\sqrt{a} - \sqrt{11})(a + \sqrt{11a} + 11)}{\sqrt{a} - \sqrt{11}}$

Сократим общий множитель $(\sqrt{a} - \sqrt{11})$.

$\frac{\cancel{(\sqrt{a} - \sqrt{11})}(a + \sqrt{11a} + 11)}{\cancel{\sqrt{a} - \sqrt{11}}} = a + \sqrt{11a} + 11$

Ответ: $a + \sqrt{11a} + 11$

9)

Чтобы сократить дробь $\frac{c\sqrt{c} + 1000}{c - 10\sqrt{c} + 100}$, применим формулу суммы кубов $x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$.

Представим числитель как $(\sqrt{c})^3 + 10^3$.

$(\sqrt{c})^3 + 10^3 = (\sqrt{c} + 10)((\sqrt{c})^2 - \sqrt{c} \cdot 10 + 10^2) = (\sqrt{c} + 10)(c - 10\sqrt{c} + 100)$.

Подставим в дробь:

$\frac{(\sqrt{c} + 10)(c - 10\sqrt{c} + 100)}{c - 10\sqrt{c} + 100}$

Сократим общий множитель $(c - 10\sqrt{c} + 100)$.

$\frac{(\sqrt{c} + 10)\cancel{(c - 10\sqrt{c} + 100)}}{\cancel{c - 10\sqrt{c} + 100}} = \sqrt{c} + 10$

Ответ: $\sqrt{c} + 10$