Номер 13, страница 41, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 2. Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 17. Тождественные преобразования выражений, содержащих арифметические квадратные корни - номер 13, страница 41.

Условие.

13. Найдите значение выражения:

1) $\frac{\sqrt{7}+\sqrt{3}}{\sqrt{7}-\sqrt{3}} - \frac{\sqrt{7}-\sqrt{3}}{\sqrt{7}+\sqrt{3}}$,

2) $\frac{2\sqrt{10}-\sqrt{15}}{2\sqrt{10}+\sqrt{15}} + \frac{2\sqrt{10}+\sqrt{15}}{2\sqrt{10}-\sqrt{15}}$

Решение.

1) Используя правило вычитания дробей с разными знаменателями, получаем:

$\frac{\sqrt{7}+\sqrt{3}}{\sqrt{7}-\sqrt{3}} - \frac{\sqrt{7}-\sqrt{3}}{\sqrt{7}+\sqrt{3}} = \frac{(\sqrt{7}+\sqrt{3})^2 - (\sqrt{7}-\sqrt{3})^2}{(\sqrt{7}-\sqrt{3})(\sqrt{7}+\sqrt{3})} =$

Решение.

1)

Для вычитания дробей с разными знаменателями приведем их к общему знаменателю. Общим знаменателем является произведение исходных знаменателей: $(\sqrt{7}-\sqrt{3})(\sqrt{7}+\sqrt{3})$.

$\frac{\sqrt{7}+\sqrt{3}}{\sqrt{7}-\sqrt{3}} - \frac{\sqrt{7}-\sqrt{3}}{\sqrt{7}+\sqrt{3}} = \frac{(\sqrt{7}+\sqrt{3})(\sqrt{7}+\sqrt{3})}{(\sqrt{7}-\sqrt{3})(\sqrt{7}+\sqrt{3})} - \frac{(\sqrt{7}-\sqrt{3})(\sqrt{7}-\sqrt{3})}{(\sqrt{7}+\sqrt{3})(\sqrt{7}-\sqrt{3})} = \frac{(\sqrt{7}+\sqrt{3})^2 - (\sqrt{7}-\sqrt{3})^2}{(\sqrt{7}-\sqrt{3})(\sqrt{7}+\sqrt{3})}$

Применим формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2-b^2$ для знаменателя:

$(\sqrt{7}-\sqrt{3})(\sqrt{7}+\sqrt{3}) = (\sqrt{7})^2 - (\sqrt{3})^2 = 7 - 3 = 4$

Теперь раскроем скобки в числителе, используя формулы сокращенного умножения: квадрат суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ и квадрат разности $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$.

$(\sqrt{7}+\sqrt{3})^2 = (\sqrt{7})^2 + 2\cdot\sqrt{7}\cdot\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 7 + 2\sqrt{21} + 3 = 10 + 2\sqrt{21}$

$(\sqrt{7}-\sqrt{3})^2 = (\sqrt{7})^2 - 2\cdot\sqrt{7}\cdot\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 7 - 2\sqrt{21} + 3 = 10 - 2\sqrt{21}$

Подставим полученные значения в числитель и выполним вычитание:

$(10 + 2\sqrt{21}) - (10 - 2\sqrt{21}) = 10 + 2\sqrt{21} - 10 + 2\sqrt{21} = 4\sqrt{21}$

Теперь соберем все выражение:

$\frac{4\sqrt{21}}{4} = \sqrt{21}$

Ответ: $\sqrt{21}$

2)

Действуем аналогично первому примеру, приводим дроби к общему знаменателю $(2\sqrt{10}+\sqrt{15})(2\sqrt{10}-\sqrt{15})$.

$\frac{2\sqrt{10}-\sqrt{15}}{2\sqrt{10}+\sqrt{15}} + \frac{2\sqrt{10}+\sqrt{15}}{2\sqrt{10}-\sqrt{15}} = \frac{(2\sqrt{10}-\sqrt{15})^2 + (2\sqrt{10}+\sqrt{15})^2}{(2\sqrt{10}+\sqrt{15})(2\sqrt{10}-\sqrt{15})}$

Вычислим знаменатель по формуле разности квадратов:

$(2\sqrt{10}+\sqrt{15})(2\sqrt{10}-\sqrt{15}) = (2\sqrt{10})^2 - (\sqrt{15})^2 = 4 \cdot 10 - 15 = 40 - 15 = 25$

Для числителя воспользуемся тождеством $(a-b)^2 + (a+b)^2 = 2(a^2+b^2)$. В нашем случае $a = 2\sqrt{10}$ и $b = \sqrt{15}$.

Найдем $a^2$ и $b^2$:

$a^2 = (2\sqrt{10})^2 = 4 \cdot 10 = 40$

$b^2 = (\sqrt{15})^2 = 15$

Тогда числитель равен:

$2(a^2+b^2) = 2(40+15) = 2 \cdot 55 = 110$

Подставим вычисленные значения числителя и знаменателя в дробь:

$\frac{110}{25}$

Сократим полученную дробь на 5:

$\frac{110}{25} = \frac{22 \cdot 5}{5 \cdot 5} = \frac{22}{5}$

Ответ: $\frac{22}{5}$