Номер 5, страница 36, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 2. Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 17. Тождественные преобразования выражений, содержащих арифметические квадратные корни - номер 5, страница 36.

Условие.

5. Выполните умножение:

1) $(3 - \sqrt{5})(\sqrt{5} + 4);$

Применив правило умножения многочленов, получаем:

$(3 - \sqrt{5})(\sqrt{5} + 4) = 3\sqrt{5} + 12 - (\sqrt{5})^2 - 4\sqrt{5} =$

$=$

2) $(6\sqrt{2} + \sqrt{11})(2\sqrt{11} - \sqrt{2}) =$

3) $(3\sqrt{7} - 2\sqrt{6})(3\sqrt{7} + 2\sqrt{6});$

Применив формулу произведения суммы и разности двух выражений, получаем:

$(3\sqrt{7} - 2\sqrt{6})(3\sqrt{7} + 2\sqrt{6}) = (3\sqrt{7})^2 - (2\sqrt{6})^2 =$

4) $(\sqrt{31} - 4)(\sqrt{31} + 4) =$

5) $(9\sqrt{a} + 2\sqrt{5b})(9\sqrt{a} - 2\sqrt{5b}) =$

6) $(7\sqrt{2} + 2\sqrt{13})^2;$

Применив формулу квадрата двучлена, получаем:

$(7\sqrt{2} + 2\sqrt{13})^2 = (7\sqrt{2})^2 + 2 \cdot 7\sqrt{2} \cdot 2\sqrt{13} + (2\sqrt{13})^2 =$

7) $(\sqrt{5} - 2)^2 =$

8) $(2\sqrt{7} + 3)^2 =$

Решение.

1) $(3 - \sqrt{5})(\sqrt{5} + 4)$

Применив правило умножения многочленов, получаем:

$(3 - \sqrt{5})(\sqrt{5} + 4) = 3 \cdot \sqrt{5} + 3 \cdot 4 - \sqrt{5} \cdot \sqrt{5} - \sqrt{5} \cdot 4 = 3\sqrt{5} + 12 - (\sqrt{5})^2 - 4\sqrt{5} = 3\sqrt{5} + 12 - 5 - 4\sqrt{5} = 7 - \sqrt{5}$

Ответ: $7 - \sqrt{5}$

2) $(6\sqrt{2} + \sqrt{11})(2\sqrt{11} - \sqrt{2})$

Применим правило умножения многочленов:

$(6\sqrt{2} + \sqrt{11})(2\sqrt{11} - \sqrt{2}) = 6\sqrt{2} \cdot 2\sqrt{11} - 6\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} + \sqrt{11} \cdot 2\sqrt{11} - \sqrt{11} \cdot \sqrt{2} = 12\sqrt{22} - 6 \cdot 2 + 2 \cdot 11 - \sqrt{22} = 12\sqrt{22} - 12 + 22 - \sqrt{22} = 10 + 11\sqrt{22}$

Ответ: $10 + 11\sqrt{22}$

3) $(3\sqrt{7} - 2\sqrt{6})(3\sqrt{7} + 2\sqrt{6})$

Применив формулу произведения разности и суммы двух выражений $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$, получаем:

$(3\sqrt{7} - 2\sqrt{6})(3\sqrt{7} + 2\sqrt{6}) = (3\sqrt{7})^2 - (2\sqrt{6})^2 = 9 \cdot 7 - 4 \cdot 6 = 63 - 24 = 39$

Ответ: $39$

4) $(\sqrt{31} - 4)(\sqrt{31} + 4)$

Применим формулу произведения разности и суммы двух выражений $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$:

$(\sqrt{31} - 4)(\sqrt{31} + 4) = (\sqrt{31})^2 - 4^2 = 31 - 16 = 15$

Ответ: $15$

5) $(9\sqrt{a} + 2\sqrt{5b})(9\sqrt{a} - 2\sqrt{5b})$

Применим формулу произведения суммы и разности двух выражений $(x+y)(x-y)=x^2-y^2$:

$(9\sqrt{a} + 2\sqrt{5b})(9\sqrt{a} - 2\sqrt{5b}) = (9\sqrt{a})^2 - (2\sqrt{5b})^2 = 81(\sqrt{a})^2 - 4(\sqrt{5b})^2 = 81a - 4(5b) = 81a - 20b$

Ответ: $81a - 20b$

6) $(7\sqrt{2} + 2\sqrt{13})^2$

Применив формулу квадрата суммы двучлена $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$, получаем:

$(7\sqrt{2} + 2\sqrt{13})^2 = (7\sqrt{2})^2 + 2 \cdot 7\sqrt{2} \cdot 2\sqrt{13} + (2\sqrt{13})^2 = 49 \cdot 2 + 28\sqrt{26} + 4 \cdot 13 = 98 + 28\sqrt{26} + 52 = 150 + 28\sqrt{26}$

Ответ: $150 + 28\sqrt{26}$

7) $(\sqrt{5} - 2)^2$

Применим формулу квадрата разности двучлена $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$:

$(\sqrt{5} - 2)^2 = (\sqrt{5})^2 - 2 \cdot \sqrt{5} \cdot 2 + 2^2 = 5 - 4\sqrt{5} + 4 = 9 - 4\sqrt{5}$

Ответ: $9 - 4\sqrt{5}$

8) $(2\sqrt{7} + 3)^2$

Применим формулу квадрата суммы двучлена $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$:

$(2\sqrt{7} + 3)^2 = (2\sqrt{7})^2 + 2 \cdot 2\sqrt{7} \cdot 3 + 3^2 = 4 \cdot 7 + 12\sqrt{7} + 9 = 28 + 12\sqrt{7} + 9 = 37 + 12\sqrt{7}$

Ответ: $37 + 12\sqrt{7}$