Номер 7, страница 48, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 2. Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 18. Функция y = √x и её график - номер 7, страница 48.

Условие.

7. Сравните числа:

1) $7$ и $\sqrt{51}$;

2) $6$ и $\sqrt{34}$;

3) $5\sqrt{2}$ и $4\sqrt{3}$;

4) $4\sqrt{0,5}$ и $\frac{1}{3}\sqrt{72}$.

Решение.

1) Поскольку $7 = \sqrt{49}$ и $49 < 51$, то $7$ ___ $\sqrt{51}$;

2) ________________________

3) Имеем: $5\sqrt{2} = \sqrt{25 \cdot 2} = \sqrt{\_}$, $4\sqrt{3} = \sqrt{16 \cdot 3} = \sqrt{\_}$

4) ________________________

Решение.

1) Чтобы сравнить числа 7 и $\sqrt{51}$, представим число 7 в виде квадратного корня. Для этого возведем 7 в квадрат и поместим результат под знак корня: $7 = \sqrt{7^2} = \sqrt{49}$. Теперь мы можем сравнить $\sqrt{49}$ и $\sqrt{51}$. Так как функция $y = \sqrt{x}$ является возрастающей для $x \geq 0$, то большему подкоренному выражению соответствует большее значение корня. Сравниваем подкоренные выражения: $49 < 51$. Следовательно, $\sqrt{49} < \sqrt{51}$, а значит $7 < \sqrt{51}$.
Ответ: $7 < \sqrt{51}$.

2) Сравним числа 6 и $\sqrt{34}$. Представим число 6 в виде квадратного корня: $6 = \sqrt{6^2} = \sqrt{36}$. Теперь сравним $\sqrt{36}$ и $\sqrt{34}$. Сравниваем подкоренные выражения: $36 > 34$. Так как $36 > 34$, то и $\sqrt{36} > \sqrt{34}$. Следовательно, $6 > \sqrt{34}$.
Ответ: $6 > \sqrt{34}$.

3) Сравним числа $5\sqrt{2}$ и $4\sqrt{3}$. Для сравнения внесем множители перед корнем под знак корня.
Для первого числа: $5\sqrt{2} = \sqrt{5^2 \cdot 2} = \sqrt{25 \cdot 2} = \sqrt{50}$.
Для второго числа: $4\sqrt{3} = \sqrt{4^2 \cdot 3} = \sqrt{16 \cdot 3} = \sqrt{48}$.
Теперь сравним полученные выражения $\sqrt{50}$ и $\sqrt{48}$. Сравниваем подкоренные выражения: $50 > 48$. Следовательно, $\sqrt{50} > \sqrt{48}$, а значит $5\sqrt{2} > 4\sqrt{3}$.
Ответ: $5\sqrt{2} > 4\sqrt{3}$.

4) Сравним числа $4\sqrt{0,5}$ и $\frac{1}{3}\sqrt{72}$. Внесем множители под знак корня.
Для первого числа: $4\sqrt{0,5} = \sqrt{4^2 \cdot 0,5} = \sqrt{16 \cdot 0,5} = \sqrt{8}$.
Для второго числа: $\frac{1}{3}\sqrt{72} = \sqrt{(\frac{1}{3})^2 \cdot 72} = \sqrt{\frac{1}{9} \cdot 72} = \sqrt{\frac{72}{9}} = \sqrt{8}$.
Мы получили два одинаковых выражения $\sqrt{8}$ и $\sqrt{8}$. Следовательно, исходные числа равны.
Ответ: $4\sqrt{0,5} = \frac{1}{3}\sqrt{72}$.