Номер 13, страница 25, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 2. Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 14. Подмножество. Операции над множествами - номер 13, страница 25.

Условие.

13. Найдите пересечение и объединение множеств корней уравнений $x^2 - 7x = 0$ и $\frac{x^2 - 49}{x - 7} = 14$.

Решение.

Решение.

Для начала найдем корни каждого уравнения по отдельности, чтобы определить множества, пересечение и объединение которых нужно найти.

Решим первое уравнение: $x^2 - 7x = 0$.

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x - 7) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два корня:

$x_1 = 0$

$x_2 - 7 = 0 \implies x_2 = 7$

Таким образом, множество корней первого уравнения, назовем его $A$, есть $A = \{0, 7\}$.

Теперь решим второе уравнение: $\frac{x^2 - 49}{x - 7} = 14$.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ): знаменатель дроби не может быть равен нулю, то есть $x - 7 \neq 0$, откуда $x \neq 7$.

Упростим левую часть уравнения, используя формулу разности квадратов в числителе: $x^2 - 49 = (x - 7)(x + 7)$.

Уравнение принимает вид:

$\frac{(x - 7)(x + 7)}{x - 7} = 14$

При условии, что $x \neq 7$, мы можем сократить дробь на $(x - 7)$:

$x + 7 = 14$

$x = 14 - 7$

$x = 7$

Однако, полученное значение $x = 7$ противоречит ОДЗ ($x \neq 7$), поэтому оно не является корнем уравнения. Следовательно, второе уравнение не имеет решений.

Множество корней второго уравнения, назовем его $B$, является пустым множеством: $B = \emptyset$.

Итак, мы имеем два множества корней: $A = \{0, 7\}$ и $B = \emptyset$. Найдем их пересечение и объединение.

пересечение

Пересечение множеств $A$ и $B$ ($A \cap B$) — это множество элементов, которые принадлежат обоим множествам одновременно. Так как множество $B$ пусто, то общих элементов у множеств $A$ и $B$ нет.

$A \cap B = \{0, 7\} \cap \emptyset = \emptyset$.

Ответ: $\emptyset$.

объединение

Объединение множеств $A$ и $B$ ($A \cup B$) — это множество, содержащее все элементы из обоих множеств. Объединение любого множества с пустым множеством равно исходному множеству.

$A \cup B = \{0, 7\} \cup \emptyset = \{0, 7\}$.

Ответ: $\{0, 7\}$.