Номер 7, страница 23, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 2. Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 14. Подмножество. Операции над множествами - номер 7, страница 23.

Условие.

7. Запишите все четырёхэлементные подмножества множества $A = \{a, b, c, d, e\}:$

Решение.

Дано множество $A = \{a, b, c, d, e\}$, которое состоит из 5 элементов.

Требуется найти все его подмножества, содержащие ровно 4 элемента. Чтобы составить четырёхэлементное подмножество из множества, содержащего 5 элементов, необходимо выбрать 4 элемента из 5. Эта задача эквивалентна выбору одного элемента, который не будет включен в подмножество.

Общее количество таких подмножеств можно найти с помощью формулы числа сочетаний из $n$ по $k$: $C_n^k = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В данном случае, $n=5$ (общее число элементов в множестве A) и $k=4$ (число элементов в подмножестве): $C_5^4 = \binom{5}{4} = \frac{5!}{4!(5-4)!} = \frac{5!}{4! \cdot 1!} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{(4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1) \cdot 1} = 5$.

Таким образом, существует 5 различных четырёхэлементных подмножеств. Перечислим их все, поочередно исключая каждый элемент из исходного множества $A$:

• Исключаем элемент a: получаем подмножество $\{b, c, d, e\}$.
• Исключаем элемент b: получаем подмножество $\{a, c, d, e\}$.
• Исключаем элемент c: получаем подмножество $\{a, b, d, e\}$.
• Исключаем элемент d: получаем подмножество $\{a, b, c, e\}$.
• Исключаем элемент e: получаем подмножество $\{a, b, c, d\}$.

Ответ: $\{b, c, d, e\}$, $\{a, c, d, e\}$, $\{a, b, d, e\}$, $\{a, b, c, e\}$, $\{a, b, c, d\}$.