Номер 6, страница 23, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 2. Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 14. Подмножество. Операции над множествами - номер 6, страница 23.

Условие.

6. Запишите все двухэлементные подмножества множества $M = \{10, 11, 12, 13\}$:

Решение.

Чтобы найти все двухэлементные подмножества множества $M = \{10, 11, 12, 13\}$, необходимо составить все возможные уникальные пары из его элементов. Порядок элементов в подмножестве не имеет значения, то есть подмножество $\{a, b\}$ и $\{b, a\}$ — это одно и то же.

Выполним перебор всех возможных пар систематически:

• Сначала составим все пары, содержащие первый элемент (10), с каждым из последующих элементов:
  $\{10, 11\}$
  $\{10, 12\}$
  $\{10, 13\}$
• Затем возьмем второй элемент (11) и составим пары с последующими элементами (пару с 10 мы уже учли):
  $\{11, 12\}$
  $\{11, 13\}$
• Наконец, возьмем третий элемент (12) и составим пару с последним элементом (пары с 10 и 11 уже учтены):
  $\{12, 13\}$

Для элемента 13 не осталось других элементов для создания новой уникальной пары.

Количество таких подмножеств можно также определить с помощью формулы для числа сочетаний из $n$ по $k$: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$. В нашем случае общее число элементов $n=4$, и мы выбираем подмножества размером $k=2$.
$C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2! \cdot 2!} = \frac{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{(2 \cdot 1) \cdot (2 \cdot 1)} = \frac{24}{4} = 6$.

Расчет показывает, что должно быть 6 двухэлементных подмножеств, что соответствует найденному нами списку.

Ответ: $\{10, 11\}, \{10, 12\}, \{10, 13\}, \{11, 12\}, \{11, 13\}, \{12, 13\}$.