Номер 12, страница 24, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 2. Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 14. Подмножество. Операции над множествами - номер 12, страница 24.

Условие.

12. Найдите пересечение и объединение множеств корней уравнений $x^3 - 3x^2 - 4x + 12 = 0$ и $x^3 - 9x = 0$.

Решение.

Решим каждое из этих уравнений. Имеем:

$x^3 - 3x^2 - 4x + 12 = 0;$

$x^2(x - 3) - 4(x - 3) = 0;$

Решение.

Для того чтобы найти пересечение и объединение множеств корней, необходимо сначала решить каждое уравнение и найти эти множества.

1. Решение уравнения $x^3 - 3x^2 - 4x + 12 = 0$

Разложим левую часть уравнения на множители, используя метод группировки:

$(x^3 - 3x^2) - (4x - 12) = 0$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$x^2(x - 3) - 4(x - 3) = 0$

Теперь вынесем общий множитель $(x - 3)$:

$(x^2 - 4)(x - 3) = 0$

Множитель $(x^2 - 4)$ можно разложить по формуле разности квадратов:

$(x - 2)(x + 2)(x - 3) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Отсюда получаем корни:

$x - 2 = 0 \Rightarrow x_1 = 2$

$x + 2 = 0 \Rightarrow x_2 = -2$

$x - 3 = 0 \Rightarrow x_3 = 3$

Таким образом, множество корней первого уравнения, обозначим его $A$, равно $A = \{-2, 2, 3\}$.

2. Решение уравнения $x^3 - 9x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x^2 - 9) = 0$

Разложим выражение в скобках по формуле разности квадратов:

$x(x - 3)(x + 3) = 0$

Отсюда получаем корни:

$x_4 = 0$

$x - 3 = 0 \Rightarrow x_5 = 3$

$x + 3 = 0 \Rightarrow x_6 = -3$

Таким образом, множество корней второго уравнения, обозначим его $B$, равно $B = \{-3, 0, 3\}$.

Теперь, зная множества корней $A = \{-2, 2, 3\}$ и $B = \{-3, 0, 3\}$, найдем их пересечение и объединение.

Пересечение

Пересечение множеств $A \cap B$ состоит из элементов, которые принадлежат обоим множествам одновременно.

$A \cap B = \{-2, 2, 3\} \cap \{-3, 0, 3\}$

Сравнивая элементы множеств, видим, что единственным общим элементом является число 3.

Ответ: $\{3\}$.

Объединение

Объединение множеств $A \cup B$ состоит из всех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из этих множеств. Все элементы перечисляются по одному разу.

$A \cup B = \{-2, 2, 3\} \cup \{-3, 0, 3\}$

Собираем все уникальные элементы из обоих множеств и располагаем их в порядке возрастания.

Ответ: $\{-3, -2, 0, 2, 3\}$.