Номер 3, страница 9 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 1. Четырёхугольник и его элементы. Глава 1. Четырёхугольники - номер 3, страница 9.

Условие 2023.

3. Начертите четырёхугольник, в котором:

1) три угла острые;

2) два противолежащих угла прямые, а два других не являются прямыми;

3) диагонали точкой пересечения делятся пополам.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

1) три угла острые;

Сумма внутренних углов любого выпуклого четырёхугольника равна $360^\circ$. Острый угол — это угол, меньший $90^\circ$. Пусть у четырёхугольника есть три острых угла: $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$. Каждый из них меньше $90^\circ$. Их сумма будет меньше $90^\circ + 90^\circ + 90^\circ = 270^\circ$. Тогда четвёртый угол $\alpha_4$ будет равен: $\alpha_4 = 360^\circ - (\alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3)$ Поскольку $\alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3 < 270^\circ$, то $\alpha_4 > 360^\circ - 270^\circ = 90^\circ$.

Это означает, что четвёртый угол должен быть тупым (больше $90^\circ$) или развёрнутым (больше $180^\circ$).

• Если четвёртый угол тупой (от $90^\circ$ до $180^\circ$), то четырёхугольник будет выпуклым. Например, с углами $80^\circ, 80^\circ, 80^\circ, 120^\circ$.
• Если четвёртый угол развёрнутый (больше $180^\circ$), то четырёхугольник будет невыпуклым (вогнутым). Например, с углами $70^\circ, 70^\circ, 70^\circ, 150^\circ$. Нет, это не развернутый. Например, с углами $60^\circ, 60^\circ, 60^\circ, 180^\circ$ (вырожденный случай). Возьмем углы $50^\circ, 50^\circ, 50^\circ$. Четвертый угол будет $360^\circ - 150^\circ = 210^\circ$. Это вогнутый четырёхугольник.

Проще всего начертить вогнутый четырёхугольник, похожий на наконечник стрелы (дротик). У него три угла будут острыми, а один — развёрнутым (больше $180^\circ$).

Как начертить (вогнутый четырёхугольник):

1. Начертите равносторонний треугольник ABD. Все его углы равны $60^\circ$.
2. Внутри этого треугольника отметьте точку C, например, центр треугольника.
3. Соедините точки в последовательности A-C-B-D-A. Полученный четырёхугольник ACBD будет иметь три острых угла при вершинах A, B и D, а угол при вершине C будет больше $180^\circ$.

Ответ: Да, такой четырёхугольник существует. Это может быть как выпуклый четырёхугольник, у которого четвёртый угол тупой, так и невыпуклый (вогнутый) четырёхугольник, у которого четвёртый угол больше $180^\circ$.

2) два противолежащих угла прямые, а два других не являются прямыми;

Пусть в четырёхугольнике ABCD противолежащие углы $\angle A$ и $\angle C$ являются прямыми, то есть $\angle A = 90^\circ$ и $\angle C = 90^\circ$. Сумма углов четырёхугольника равна $360^\circ$. $\angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360^\circ$ $90^\circ + \angle B + 90^\circ + \angle D = 360^\circ$ $\angle B + \angle D = 360^\circ - 180^\circ = 180^\circ$

Итак, сумма двух других противолежащих углов $\angle B$ и $\angle D$ должна быть равна $180^\circ$. По условию, они не являются прямыми, то есть $\angle B \neq 90^\circ$ и $\angle D \neq 90^\circ$. Это возможно, если один из них будет острым, а другой — тупым. Например, $\angle B = 110^\circ$ и $\angle D = 70^\circ$.

Условие 2015-2022.

3. Начертите четырёхугольник, в котором:

1) три угла острые;

2) два противолежащих угла — прямые, а два других не являются прямыми;

3) диагонали точкой пересечения делятся пополам.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).