Номер 1, страница 9 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 1. Четырёхугольник и его элементы. Глава 1. Четырёхугольники - номер 1, страница 9.

Условие 2023.

1. Начертите четырёхугольник, в котором:

1) три угла тупые;

2) два соседних угла прямые, а два других не являются прямыми;

3) одна диагональ точкой пересечения диагоналей делится пополам, а другая не делится пополам;

4) диагонали перпендикулярны.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 6 (2023).

1) три угла тупые;

Сумма внутренних углов любого выпуклого четырёхугольника равна $360^\circ$. Тупой угол — это угол, градусная мера которого больше $90^\circ$.

Пусть у четырёхугольника три тупых угла: $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$. Тогда $\alpha_1 > 90^\circ$, $\alpha_2 > 90^\circ$, $\alpha_3 > 90^\circ$.
Их сумма будет больше чем $90^\circ + 90^\circ + 90^\circ = 270^\circ$.

Для четвёртого угла $\alpha_4$ остаётся: $\alpha_4 = 360^\circ - (\alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3)$.
Поскольку $\alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3 > 270^\circ$, то $\alpha_4 < 360^\circ - 270^\circ = 90^\circ$.
Следовательно, четвёртый угол должен быть острым. Такой четырёхугольник существует. Это должен быть выпуклый четырёхугольник (вогнутый четырёхугольник имеет один угол больше $180^\circ$, поэтому сумма трёх других углов будет меньше $180^\circ$, и они не могут быть все тупыми).

Чтобы начертить такой четырёхугольник, можно выполнить следующие шаги:

1. Начертите короткий горизонтальный отрезок AD.
2. Из точки D проведите отрезок DC вверх и влево так, чтобы угол ADC был тупым (например, $110^\circ$).
3. Из точки C проведите отрезок CB влево так, чтобы угол BCD тоже был тупым (например, $120^\circ$).
4. Соедините точки B и A. Подберите длины и углы так, чтобы угол CBA также получился тупым, а угол DAB — острым.

Ответ: Начерчен выпуклый четырёхугольник, у которого три внутренних угла тупые, а четвёртый — острый.

2) два соседних угла прямые, а два других не являются прямыми;

Пусть в четырёхугольнике ABCD соседние углы A и B являются прямыми, то есть $\angle A = 90^\circ$ и $\angle B = 90^\circ$.

Стороны AD и BC перпендикулярны стороне AB. Две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой. Следовательно, $AD \parallel BC$.

Четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, называется трапецией. Так как у этой трапеции есть прямые углы при боковой стороне, она называется прямоугольной трапецией.

Сумма углов C и D равна $360^\circ - (90^\circ + 90^\circ) = 180^\circ$.
По условию, углы C и D не являются прямыми. Это означает, что $\angle C \neq 90^\circ$ и $\angle D \neq 90^\circ$. Если бы один из них был прямым, то и второй был бы прямым, и фигура была бы прямоугольником. Таким образом, нам нужна прямоугольная трапеция, которая не является прямоугольником. Это возможно, если длины параллельных оснований AD и BC не равны.

Чтобы начертить такую фигуру:

1. Начертите горизонтальный отрезок AB (нижнее основание).
2. Из точек A и B проведите вверх два перпендикулярных отрезка AD и BC.
3. Сделайте длины этих отрезков разными, например, BC > AD.
4. Соедините точки D и C.

Ответ: Начерчена прямоугольная трапеция, не являющаяся прямоугольником.

3) одна диагональ точкой пересечения диагоналей делится пополам, а другая не делится пополам;

Рассмотрим свойства диагоналей различных четырёхугольников. В параллелограмме (и его частных случаях: ромбе, прямоугольнике, квадрате) обе диагонали точкой пересечения делятся пополам. Это не соответствует условию.

Рассмотрим дельтоид (фигуру, похожую на воздушного змея). Дельтоид — это четырёхугольник, у которого есть две пары равных смежных сторон. Его диагонали перпендикулярны, и одна из диагоналей (та, что соединяет вершины между неравными сторонами) делится другой диагональю пополам. Вторая диагональ при этом пополам не делится (за исключением случая, когда дельтоид является ромбом).

Таким образом, дельтоид, не являющийся ромбом, удовлетворяет условию задачи.

Чтобы начертить такую фигуру:

1. Начертите отрезок BD.
2. Проведите к нему серединный перпендикуляр.
3. Отметьте на этом перпендикуляре две точки A и C так, чтобы они лежали по разные стороны от отрезка BD и расстояние от них до точки пересечения было разным.
4. Соедините последовательно точки A, B, C и D.

В получившемся дельтоиде ABCD диагональ BD делится диагональю AC пополам, а диагональ AC не делится пополам.

Ответ: Начерчен дельтоид, не являющийся ромбом.

4) диагонали перпендикулярны.

Четырёхугольники, диагонали которых перпендикулярны, называются ортодиагональными. К таким четырёхугольникам относятся ромб, квадрат и дельтоид.

Самый простой способ начертить такой четырёхугольник — это начать с диагоналей.

1. Начертите два отрезка, которые пересекаются под прямым углом ($90^\circ$).
2. Концы этих отрезков будут вершинами искомого четырёхугольника.
3. Соедините эти четыре вершины последовательно.

В зависимости от того, делятся ли отрезки-диагонали точкой пересечения пополам, можно получить разные фигуры:

• Если обе диагонали делятся пополам, получится ромб.
• Если только одна диагональ делится пополам, получится дельтоид.
• Если ни одна из диагоналей не делится пополам, получится ортодиагональный четырёхугольник общего вида.

Любая из этих фигур будет верным решением.

Ответ: Начерчен любой четырёхугольник с перпендикулярными диагоналями, например, ромб или дельтоид.

Условие 2015-2022.

1. Начертите четырёхугольник, в котором:

1) три угла тупые;

2) два соседних угла – прямые, а два других не являются прямыми;

3) одна диагональ точкой пересечения диагоналей делится пополам, а другая не делится пополам;

4) диагонали перпендикулярны.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).