Номер 9, страница 9 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Вопросы. Параграф 1. Четырёхугольник и его элементы. Глава 1. Четырёхугольники - номер 9, страница 9.

Условие 2023.

9. Сформулируйте теорему о сумме углов четырёхугольника.

Решение 6 (2023).

Формулировка теоремы: Сумма внутренних углов любого выпуклого четырёхугольника равна $360^\circ$.

Доказательство:

Рассмотрим произвольный выпуклый четырёхугольник $ABCD$. Проведём в нём диагональ, соединяющую противоположные вершины, например, $AC$. Эта диагональ разбивает четырёхугольник на два треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$.

Сумма углов четырёхугольника $S = \angle A + \angle B + \angle C + \angle D$. При этом углы $\angle A$ и $\angle C$ четырёхугольника являются суммами углов образовавшихся треугольников:
$\angle A = \angle BAC + \angle CAD$
$\angle C = \angle BCA + \angle ACD$

Запишем сумму всех углов четырёхугольника, подставив эти выражения:
$S = (\angle BAC + \angle CAD) + \angle ABC + (\angle BCA + \angle ACD) + \angle ADC$

Теперь сгруппируем слагаемые так, чтобы получить сумму углов треугольника $\triangle ABC$ и сумму углов треугольника $\triangle ADC$:
$S = (\angle BAC + \angle ABC + \angle BCA) + (\angle CAD + \angle ADC + \angle ACD)$

Согласно теореме о сумме углов треугольника, сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Поэтому:
Сумма углов $\triangle ABC$ равна $(\angle BAC + \angle ABC + \angle BCA) = 180^\circ$.
Сумма углов $\triangle ADC$ равна $(\angle CAD + \angle ADC + \angle ACD) = 180^\circ$.

Подставляя эти значения в выражение для суммы углов четырёхугольника, получаем:
$S = 180^\circ + 180^\circ = 360^\circ$

Таким образом, теорема доказана. Эта теорема верна для любого четырёхугольника, включая невыпуклые.

Ответ: Сумма углов четырёхугольника равна $360^\circ$.

Условие 2015-2022.

9. Сформулируйте теорему о сумме углов четырёхугольника.