Номер 571, страница 122 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 16. Теорема Пифагора. Глава 3. Решение прямоугольных треугольников - номер 571, страница 122.

Условие 2023.

571. Точка касания окружности, вписанной в прямоугольную трапецию, делит её меньшее основание на отрезки длиной 6 см и 3 см, считая от вершины прямого угла. Вычислите периметр трапеции.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть дана прямоугольная трапеция $ABCD$, в которую вписана окружность. Пусть углы $A$ и $B$ — прямые, $AB$ — меньшая боковая сторона, являющаяся высотой трапеции, $BC$ — меньшее основание, $AD$ — большее основание, а $CD$ — большая боковая сторона.

По условию, точка касания $K$ делит меньшее основание $BC$ на отрезки $BK = 6$ см и $KC = 3$ см, считая от вершины прямого угла $B$.

Таким образом, длина меньшего основания $BC$ равна:

$BC = BK + KC = 6 + 3 = 9$ см.

Рассмотрим четырехугольник, образованный центром окружности $O$, вершиной $B$ и точками касания на сторонах $AB$ (назовем ее $N$) и $BC$ (точка $K$). Этот четырехугольник $NBKO$ является квадратом, так как у него все углы прямые ($\angle B$ по условию, $\angle BNO = \angle BKO = 90^\circ$ как углы между радиусом и касательной), и смежные стороны $OK$ и $ON$ равны как радиусы окружности $r$.

Следовательно, $BK = BN = r = 6$ см.

Высота трапеции $AB$ равна диаметру вписанной окружности:

$AB = 2r = 2 \cdot 6 = 12$ см.

Воспользуемся свойством отрезков касательных, проведенных к окружности из одной точки:

• Отрезки касательных из вершины $C$: $CK = CL = 3$ см (где $L$ — точка касания на стороне $CD$).
• Отрезки касательных из вершины $D$: $DL = DM$ (где $M$ — точка касания на стороне $AD$).
• Отрезки касательных из вершины $A$: $AM = AN$.

Найдем $AN$. Так как $AB = AN + NB$, то $12 = AN + 6$, откуда $AN = 6$ см.Следовательно, $AM = AN = 6$ см.

Теперь у нас есть выражения для сторон $AD$ и $CD$ через одну неизвестную. Пусть $DL = DM = x$.

Тогда большее основание $AD = AM + MD = 6 + x$.

Большая боковая сторона $CD = CL + LD = 3 + x$.

Проведем высоту $CH$ из вершины $C$ к основанию $AD$. Получим прямоугольный треугольник $CHD$. Высота $CH = AB = 12$ см. Отрезок $HD$ на большем основании равен разности оснований:

$HD = AD - BC = (6 + x) - 9 = x - 3$.

По теореме Пифагора для треугольника $CHD$:

$CD^2 = CH^2 + HD^2$

$(3 + x)^2 = 12^2 + (x - 3)^2$

Раскроем скобки:

$9 + 6x + x^2 = 144 + x^2 - 6x + 9$

Сократим одинаковые члены в обеих частях уравнения:

$6x = 144 - 6x$

$12x = 144$

$x = 12$ см.

Теперь мы можем найти длины всех сторон трапеции:

• $AB = 12$ см
• $BC = 9$ см
• $CD = 3 + x = 3 + 12 = 15$ см
• $AD = 6 + x = 6 + 12 = 18$ см

Периметр трапеции $P$ равен сумме длин всех ее сторон:

$P = AB + BC + CD + AD = 12 + 9 + 15 + 18 = 54$ см.

Также можно использовать свойство описанного четырехугольника: сумма противоположных сторон равна ($AB + CD = BC + AD$).

$12 + 15 = 27$ см

$9 + 18 = 27$ см

Свойство выполняется. Периметр равен удвоенной сумме оснований:

$P = 2 \cdot (BC + AD) = 2 \cdot (9 + 18) = 2 \cdot 27 = 54$ см.

Ответ: 54 см.

Условие 2015-2022.

571. Точка касания окружности, вписанной в прямоугольную трапецию, делит её меньшее основание на отрезки длиной 6 см и 3 см, считая от вершины прямого угла. Вычислите периметр трапеции.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 3 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).