Номер 569, страница 121 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 16. Теорема Пифагора. Глава 3. Решение прямоугольных треугольников - номер 569, страница 121.

Условие 2023.

569. Радиус окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, равен 12 см, а расстояние от вершины равнобедренного треугольника до центра окружности – 20 см. Найдите периметр данного треугольника.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Решение:

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$ и боковыми сторонами $AB = BC$. Пусть $O$ — центр вписанной окружности, а $r$ — её радиус. По условию, радиус вписанной окружности $r = 12$ см.

Центр вписанной в треугольник окружности является точкой пересечения его биссектрис. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная из вершины $B$ (угла между равными сторонами) к основанию $AC$, является также высотой и медианой. Обозначим эту высоту как $BH$. Следовательно, центр вписанной окружности $O$ лежит на высоте $BH$.

Расстояние от вершины $B$ до центра вписанной окружности — это длина отрезка $BO$. По условию, $BO = 20$ см.

Высота треугольника $BH$ складывается из отрезков $BO$ и $OH$. Отрезок $OH$ — это радиус окружности, проведенный к точке касания на основании $AC$, поэтому он перпендикулярен основанию, а его длина равна радиусу: $OH = r = 12$ см. Найдем полную высоту треугольника $BH$: $h = BH = BO + OH = 20 + 12 = 32$ см.

Проведем радиус $OK$ к точке касания окружности с боковой стороной $BC$. Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной, поэтому $OK \perp BC$. Длина $OK$ также равна радиусу, $OK = r = 12$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle BOK$ (угол $\angle BKO = 90^\circ$). В нем известны гипотенуза $BO = 20$ см и катет $OK = 12$ см. По теореме Пифагора найдем второй катет $BK$: $BK^2 = BO^2 - OK^2 = 20^2 - 12^2 = 400 - 144 = 256$ $BK = \sqrt{256} = 16$ см.

Теперь рассмотрим два прямоугольных треугольника: $\triangle BHC$ (угол $\angle BHC = 90^\circ$) и $\triangle BOK$ (угол $\angle BKO = 90^\circ$). У них есть общий острый угол $\angle HBC$. Следовательно, треугольники $\triangle BHC$ и $\triangle BOK$ подобны по двум углам (острому углу и прямому углу).

Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответствующих сторон: $\frac{BH}{BK} = \frac{HC}{OK} = \frac{BC}{BO}$

Подставим известные значения в это соотношение: $\frac{32}{16} = \frac{HC}{12} = \frac{BC}{20}$

Из пропорции $\frac{32}{16} = \frac{HC}{12}$ найдем длину отрезка $HC$ (половину основания): $2 = \frac{HC}{12}$ $HC = 2 \cdot 12 = 24$ см. Тогда длина основания $AC = 2 \cdot HC = 2 \cdot 24 = 48$ см.

Из пропорции $\frac{32}{16} = \frac{BC}{20}$ найдем длину боковой стороны $BC$: $2 = \frac{BC}{20}$ $BC = 2 \cdot 20 = 40$ см. Поскольку треугольник равнобедренный, $AB = BC = 40$ см.

Наконец, найдем периметр треугольника $ABC$ как сумму длин всех его сторон: $P_{ABC} = AB + BC + AC = 40 + 40 + 48 = 128$ см.

Ответ: 128 см.

Условие 2015-2022.

569. Радиус окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, равен 12 см, а расстояние от вершины равнобедренного треугольника до центра окружности – 20 см. Найдите периметр данного треугольника.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 3 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).