Номер 568, страница 121 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 16. Теорема Пифагора. Глава 3. Решение прямоугольных треугольников - номер 568, страница 121.

Условие 2023.

568. В окружности по одну сторону от её центра проведены две параллельные хорды длиной 48 см и 24 см. Расстояние между хордами равно 12 см. Найдите радиус окружности.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть $O$ — центр окружности, а $R$ — её радиус. Обозначим хорды как $AB$ и $CD$, где $AB = 48$ см и $CD = 24$ см. По условию, хорды параллельны ($AB \parallel CD$) и находятся по одну сторону от центра $O$.

Проведем из центра $O$ перпендикуляр $ON$ к хордам. Так как хорды параллельны, этот перпендикуляр будет общим для них. Пусть он пересекает хорду $AB$ в точке $M$ и хорду $CD$ в точке $N$.

По свойству окружности, перпендикуляр, опущенный из центра на хорду, делит эту хорду пополам. Следовательно:

$AM = MB = \frac{AB}{2} = \frac{48}{2} = 24$ см.

$CN = ND = \frac{CD}{2} = \frac{24}{2} = 12$ см.

Расстояние от центра до хорды $AB$ равно $OM$, а до хорды $CD$ — $ON$. Расстояние между хордами — это длина отрезка $MN$, которая по условию равна 12 см. Так как хорды лежат по одну сторону от центра, и хорда $AB$ длиннее, она находится ближе к центру. Значит, $ON = OM + MN = OM + 12$.

Рассмотрим два прямоугольных треугольника: $\triangle OMA$ и $\triangle ONC$. В обоих треугольниках гипотенузами являются радиусы окружности $OA$ и $OC$, то есть $OA = OC = R$.

Применим теорему Пифагора для обоих треугольников:

1. Для $\triangle OMA$: $OA^2 = OM^2 + AM^2 \implies R^2 = OM^2 + 24^2$.

2. Для $\triangle ONC$: $OC^2 = ON^2 + CN^2 \implies R^2 = ON^2 + 12^2$.

Так как левые части уравнений равны ($R^2$), мы можем приравнять их правые части:

$OM^2 + 24^2 = ON^2 + 12^2$

Подставим в это уравнение выражение $ON = OM + 12$:

$OM^2 + 576 = (OM + 12)^2 + 144$

Раскроем скобки в правой части:

$OM^2 + 576 = OM^2 + 2 \cdot OM \cdot 12 + 12^2 + 144$

$OM^2 + 576 = OM^2 + 24 \cdot OM + 144 + 144$

$OM^2 + 576 = OM^2 + 24 \cdot OM + 288$

Сократим $OM^2$ в обеих частях и решим уравнение относительно $OM$:

$576 = 24 \cdot OM + 288$

$24 \cdot OM = 576 - 288$

$24 \cdot OM = 288$

$OM = \frac{288}{24} = 12$ см.

Теперь, когда мы нашли $OM$, можем найти радиус $R$, подставив значение $OM$ в первое уравнение для $R^2$:

$R^2 = OM^2 + 24^2 = 12^2 + 24^2 = 144 + 576 = 720$.

$R = \sqrt{720} = \sqrt{144 \cdot 5} = 12\sqrt{5}$ см.

Ответ: $12\sqrt{5}$ см.

Условие 2015-2022.

568. В окружности по одну сторону от её центра проведены две параллельные хорды длиной 48 см и 24 см. Расстояние между хордами равно 12 см. Найдите радиус окружности.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 3 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).