Номер 561, страница 121 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 16. Теорема Пифагора. Глава 3. Решение прямоугольных треугольников - номер 561, страница 121.

Условие 2023.

561. Найдите стороны параллелограмма, диагонали которого равны 16 см и 20 см, если одна из диагоналей перпендикулярна его стороне.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть стороны параллелограмма равны $a$ и $b$, а его диагонали — $d_1 = 16$ см и $d_2 = 20$ см.

По условию, одна из диагоналей перпендикулярна стороне. Допустим, диагональ $BD$ перпендикулярна стороне $AB$. В этом случае треугольник $ABD$ является прямоугольным, где сторона $AB=a$ и диагональ $BD$ — катеты, а сторона $AD=b$ — гипотенуза.

По теореме Пифагора для треугольника $ABD$ справедливо равенство:
$AD^2 = AB^2 + BD^2$, то есть $b^2 = a^2 + BD^2$.

Также для любого параллелограмма выполняется свойство, что сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех его сторон:
$AC^2 + BD^2 = 2(a^2 + b^2)$

Подставим выражение для $b^2$ из теоремы Пифагора в свойство диагоналей:
$AC^2 + BD^2 = 2(a^2 + (a^2 + BD^2))$
$AC^2 + BD^2 = 2(2a^2 + BD^2)$
$AC^2 + BD^2 = 4a^2 + 2BD^2$

Выразим из этого уравнения $4a^2$:
$4a^2 = AC^2 - BD^2$

Так как квадрат длины стороны ($a^2$) должен быть положительным числом, то $AC^2 - BD^2 > 0$, что означает $AC^2 > BD^2$ или $AC > BD$. Следовательно, диагональ, перпендикулярная стороне ($BD$), должна быть короче другой диагонали ($AC$).

Из условия известно, что длины диагоналей равны 16 см и 20 см. Значит, диагональ, перпендикулярная стороне, $BD = 16$ см, а вторая диагональ $AC = 20$ см.

Теперь мы можем найти длину стороны $a$:
$4a^2 = 20^2 - 16^2 = 400 - 256 = 144$
$a^2 = \frac{144}{4} = 36$
$a = \sqrt{36} = 6$ см.

Далее найдем вторую сторону $b$, используя ранее выведенное равенство $b^2 = a^2 + BD^2$:
$b^2 = 6^2 + 16^2 = 36 + 256 = 292$
$b = \sqrt{292} = \sqrt{4 \cdot 73} = 2\sqrt{73}$ см.

Ответ: стороны параллелограмма равны 6 см и $2\sqrt{73}$ см.

Условие 2015-2022.

561. Найдите стороны параллелограмма, диагонали которого равны 16 см и 20 см, если одна из диагоналей перпендикулярна его стороне.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 3 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).