Номер 565, страница 121 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 16. Теорема Пифагора. Глава 3. Решение прямоугольных треугольников - номер 565, страница 121.

Условие 2023.

565. Основания равнобокой трапеции равны 12 см и 20 см, а диагональ является биссектрисой тупого угла трапеции. Найдите эту диагональ.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть дана равнобокая трапеция $ABCD$, где $AD$ и $BC$ — основания. По условию задачи, большее основание $AD = 20$ см, а меньшее основание $BC = 12$ см. Поскольку трапеция равнобокая, её боковые стороны равны: $AB = CD$.

Диагональ $AC$ является биссектрисой тупого угла $BCD$. Это означает, что она делит этот угол на два равных угла: $∠BCA = ∠ACD$.

Так как основания трапеции параллельны ($BC \parallel AD$), то накрест лежащие углы, образованные при пересечении этих параллельных прямых секущей $AC$, равны: $∠BCA = ∠CAD$.

Из двух полученных равенств ($∠BCA = ∠ACD$ и $∠BCA = ∠CAD$) следует, что $∠ACD = ∠CAD$.

Рассмотрим треугольник $ACD$. В этом треугольнике два угла равны, следовательно, он является равнобедренным. Стороны, лежащие против равных углов, равны между собой. В данном случае, сторона $CD$ лежит против угла $CAD$, а сторона $AD$ лежит против угла $ACD$. Значит, $CD = AD$.

Поскольку $AD = 20$ см, то и боковая сторона $CD = 20$ см.

Теперь для нахождения длины диагонали $AC$ проведём из вершины $C$ высоту $CH$ к основанию $AD$. В равнобокой трапеции длина проекции боковой стороны на большее основание вычисляется как полуразность длин оснований:
$HD = \frac{AD - BC}{2} = \frac{20 - 12}{2} = \frac{8}{2} = 4$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $CHD$. По теореме Пифагора найдём квадрат высоты $CH$:
$CH^2 = CD^2 - HD^2$
$CH^2 = 20^2 - 4^2 = 400 - 16 = 384$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $AHC$. Длина катета $AH$ равна разности длины основания $AD$ и отрезка $HD$:
$AH = AD - HD = 20 - 4 = 16$ см.
Гипотенуза $AC$ этого треугольника является искомой диагональю. Применим теорему Пифагора:
$AC^2 = AH^2 + CH^2$
$AC^2 = 16^2 + 384 = 256 + 384 = 640$.

Отсюда находим длину диагонали $AC$:
$AC = \sqrt{640} = \sqrt{64 \cdot 10} = 8\sqrt{10}$ см.

Ответ: $8\sqrt{10}$ см.

Условие 2015-2022.

565. Основания равнобокой трапеции равны 12 см и 20 см, а диагональ является биссектрисой тупого угла трапеции. Найдите эту диагональ.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 3 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).