Номер 558, страница 121 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 16. Теорема Пифагора. Глава 3. Решение прямоугольных треугольников - номер 558, страница 121.

Условие 2023.

558. Из точки к прямой проведены две наклонные, длины которых относятся как $5:6$, а проекции этих наклонных на прямую равны 7 см и 18 см. Найдите расстояние от данной точки до этой прямой.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть из точки A к прямой l проведен перпендикуляр AH. Его длина h и есть искомое расстояние от точки до прямой. Также из точки A проведены две наклонные AB и AC. Отрезки HB и HC являются проекциями этих наклонных на прямую l.

По условию задачи даны длины проекций: $HB = 7$ см и $HC = 18$ см (или наоборот, это не имеет значения для хода решения). Длины наклонных AB и AC относятся как 5:6. Обозначим их как $l_1 = 5x$ и $l_2 = 6x$, где x — коэффициент пропорциональности.

Треугольники $\triangle AHB$ и $\triangle AHC$ являются прямоугольными (угол H — прямой). В прямоугольном треугольнике большей наклонной (гипотенузе) соответствует большая проекция (катет). Поэтому наклонной длиной $6x$ соответствует проекция 18 см, а наклонной $5x$ — проекция 7 см.

Применим теорему Пифагора для обоих треугольников:

• Для $\triangle AHB$: $AH^2 + HB^2 = AB^2$. Подставляя известные значения, получаем: $h^2 + 7^2 = (5x)^2$
  $h^2 + 49 = 25x^2$ (1)
• Для $\triangle AHC$: $AH^2 + HC^2 = AC^2$. Подставляя известные значения, получаем: $h^2 + 18^2 = (6x)^2$
  $h^2 + 324 = 36x^2$ (2)

Получили систему двух уравнений с двумя неизвестными. Выразим $h^2$ из каждого уравнения:

Из (1): $h^2 = 25x^2 - 49$
Из (2): $h^2 = 36x^2 - 324$

Приравняем правые части этих выражений:
$25x^2 - 49 = 36x^2 - 324$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти $x^2$:
$324 - 49 = 36x^2 - 25x^2$
$275 = 11x^2$
$x^2 = \frac{275}{11}$
$x^2 = 25$

Подставим найденное значение $x^2 = 25$ в любое из выражений для $h^2$. Например, в первое:
$h^2 = 25x^2 - 49 = 25 \cdot 25 - 49 = 625 - 49 = 576$

Теперь найдем искомое расстояние h:
$h = \sqrt{576} = 24$ см.

Ответ: 24 см.

Условие 2015-2022.

558. Из точки к прямой проведены две наклонные, длины которых относятся как 5 : 6, а проекции этих наклонных на прямую равны 7 см и 18 см. Найдите расстояние от данной точки до этой прямой.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 3 (2015-2022).