Номер 559, страница 121 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 16. Теорема Пифагора. Глава 3. Решение прямоугольных треугольников - номер 559, страница 121.

Условие 2023.

559. Из точки к прямой проведены две наклонные длиной 15 см и 27 см. Сумма длин проекций этих наклонных на прямую равна 24 см. Найдите проекцию каждой наклонной.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть из точки A к некоторой прямой проведены перпендикуляр AH и две наклонные AB и AC. В этом случае AH — это расстояние от точки до прямой, AB и AC — наклонные, а отрезки HB и HC — это проекции этих наклонных на прямую.

По условию задачи, длины наклонных равны $AB = 15$ см и $AC = 27$ см. Сумма длин их проекций составляет $HB + HC = 24$ см.

Образовались два прямоугольных треугольника $\triangle AHB$ и $\triangle AHC$, у которых катет AH является общим. Применим для каждого из них теорему Пифагора:

• Из $\triangle AHB$: $AH^2 + HB^2 = AB^2 \Rightarrow AH^2 = 15^2 - HB^2$
• Из $\triangle AHC$: $AH^2 + HC^2 = AC^2 \Rightarrow AH^2 = 27^2 - HC^2$

Так как левые части этих равенств одинаковы (квадрат общей высоты), мы можем приравнять их правые части: $15^2 - HB^2 = 27^2 - HC^2$

Обозначим длину одной из проекций, например HB, через $x$. Тогда, согласно условию, длина второй проекции HC будет равна $(24 - x)$. Подставим эти выражения в полученное уравнение: $15^2 - x^2 = 27^2 - (24 - x)^2$

Решим это уравнение: $225 - x^2 = 729 - (24^2 - 2 \cdot 24 \cdot x + x^2)$ $225 - x^2 = 729 - (576 - 48x + x^2)$ $225 - x^2 = 729 - 576 + 48x - x^2$

Члены $-x^2$ в обеих частях уравнения взаимно уничтожаются: $225 = 153 + 48x$

Теперь найдем $x$: $48x = 225 - 153$ $48x = 72$ $x = \frac{72}{48} = \frac{3}{2} = 1,5$

Таким образом, длина одной проекции $HB = x = 1,5$ см. Длина второй проекции $HC = 24 - x = 24 - 1,5 = 22,5$ см.

Ответ: проекции наклонных равны 1,5 см и 22,5 см.

Условие 2015-2022.

559. Из точки к прямой проведены две наклонные длиной 15 см и 27 см. Сумма длин проекций этих наклонных на прямую равна 24 см. Найдите проекцию каждой наклонной.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 3 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).