Номер 553, страница 120 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 16. Теорема Пифагора. Глава 3. Решение прямоугольных треугольников - номер 553, страница 120.

Условие 2023.

553. Высота равнобедренного треугольника, проведённая к его основанию, равна 8 см, а радиус окружности, описанной около него, – 5 см. Найдите боковую сторону треугольника.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$ и боковыми сторонами $AB=BC$. Проведем высоту $BH$ к основанию $AC$. По условию задачи, длина высоты $BH = 8$ см. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой и серединным перпендикуляром к основанию.

Пусть $O$ — это центр описанной около треугольника $ABC$ окружности. Центр описанной окружности лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам. Так как прямая $BH$ является серединным перпендикуляром к стороне $AC$, то центр $O$ лежит на прямой $BH$.

Радиус описанной окружности, по условию, равен $R = 5$ см. Радиус — это расстояние от центра окружности до любой из вершин треугольника. Следовательно, $OA = OB = OC = R = 5$ см.

Так как точка $O$ лежит на той же прямой, что и отрезок $BH$, мы можем сравнить длины $OB$ и $BH$. Поскольку $OB = 5$ см, а $BH = 8$ см, то $OB < BH$. Это означает, что центр окружности $O$ находится на отрезке высоты $BH$ (между вершиной $B$ и основанием $H$). Треугольник является остроугольным.

Расстояние от центра $O$ до основания $AC$ равно длине отрезка $OH$. Мы можем найти ее как разность длин отрезков $BH$ и $BO$: $OH = BH - OB = 8 - 5 = 3$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $AOH$ (угол $\angle AHO = 90^\circ$, так как $BH \perp AC$). В этом треугольнике:

• гипотенуза $OA$ равна радиусу $R$, то есть $OA = 5$ см;
• катет $OH = 3$ см;
• катет $AH$ — половина основания $AC$.

По теореме Пифагора, $AH^2 + OH^2 = OA^2$. Подставим известные значения: $AH^2 + 3^2 = 5^2$ $AH^2 + 9 = 25$ $AH^2 = 25 - 9 = 16$ $AH = \sqrt{16} = 4$ см.

Наконец, найдем длину боковой стороны $AB$. Рассмотрим для этого прямоугольный треугольник $ABH$ (угол $\angle AHB = 90^\circ$). В этом треугольнике:

• катет $BH = 8$ см (высота);
• катет $AH = 4$ см (половина основания);
• гипотенуза $AB$ — боковая сторона треугольника.

По теореме Пифагора, $AB^2 = BH^2 + AH^2$. Подставим известные значения: $AB^2 = 8^2 + 4^2$ $AB^2 = 64 + 16 = 80$ $AB = \sqrt{80} = \sqrt{16 \cdot 5} = 4\sqrt{5}$ см.

Ответ: $4\sqrt{5}$ см.

Условие 2015-2022.

553. Высота равнобедренного треугольника, проведённая к его основанию, равна 8 см, а радиус окружности, описанной около него, – 5 см. Найдите боковую сторону треугольника.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 3 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).