Номер 549, страница 120 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 16. Теорема Пифагора. Глава 3. Решение прямоугольных треугольников - номер 549, страница 120.

Условие 2023.

549. Найдите длину неизвестного отрезка $x$ на рисунке 190 (длины отрезков даны в сантиметрах).

Рис. 190

a

$1$, $1$, $2$, $x$

б

$x$, $1$, $3$, $\sqrt{6}$

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

а

Данная фигура состоит из двух прямоугольных треугольников, у которых есть общая сторона.
Сначала рассмотрим нижний прямоугольный треугольник. Его катеты равны 1 и 1. Найдем длину его гипотенузы, которая является общей стороной. Обозначим эту гипотенузу h. По теореме Пифагора:
$h^2 = 1^2 + 1^2 = 1 + 1 = 2$
$h = \sqrt{2}$
Теперь рассмотрим верхний прямоугольный треугольник. Его катетами являются сторона с неизвестной длиной x и общая сторона $h = \sqrt{2}$. Гипотенуза этого треугольника равна 2. Снова применяем теорему Пифагора:
$x^2 + h^2 = 2^2$
Подставляем значение $h^2 = 2$:
$x^2 + 2 = 4$
$x^2 = 4 - 2 = 2$
$x = \sqrt{2}$
Ответ: $x = \sqrt{2}$ см.

б

На рисунке изображен большой прямоугольный треугольник. Отрезок делит его на два меньших треугольника. Рассмотрим два прямоугольных треугольника: большой и малый правый. У них есть общий катет — высота, которую мы обозначим h.
Сначала рассмотрим малый правый треугольник. Его катеты равны h и 1, а гипотенуза — $\sqrt{6}$. По теореме Пифагора:
$h^2 + 1^2 = (\sqrt{6})^2$
$h^2 + 1 = 6$
$h^2 = 5$
Теперь рассмотрим большой прямоугольный треугольник. Его катеты равны $(x + 1)$ и h, а гипотенуза равна 3. По теореме Пифагора:
$(x + 1)^2 + h^2 = 3^2$
Подставим найденное значение $h^2 = 5$:
$(x + 1)^2 + 5 = 9$
$(x + 1)^2 = 9 - 5 = 4$
Поскольку x — это длина отрезка, она не может быть отрицательной, следовательно, $x + 1$ должно быть положительным числом. Извлекая квадратный корень, получаем:
$x + 1 = 2$
$x = 2 - 1 = 1$
Ответ: $x = 1$ см.

Условие 2015-2022.

549. Найдите длину неизвестного отрезка $x$ на рисунке 178 (размеры даны в сантиметрах).

Рис. 178

а

Размеры: $x$, $1$, $1$, $2$.

б

Размеры: $3$, $\sqrt{6}$, $x$, $1$.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 3 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).