Номер 546, страница 119 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 16. Теорема Пифагора. Глава 3. Решение прямоугольных треугольников - номер 546, страница 119.

Условие 2023.

546. Найдите сторону равностороннего треугольника, высота которого равна $h$.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть сторона равностороннего треугольника равна $a$, а его высота равна $h$.

Высота, проведенная к основанию в равностороннем треугольнике, является также его медианой. Эта высота делит треугольник на два одинаковых прямоугольных треугольника.

Рассмотрим один из этих прямоугольных треугольников. Его гипотенуза равна стороне равностороннего треугольника $a$. Один из катетов равен высоте $h$, а второй катет равен половине стороны равностороннего треугольника, то есть $\frac{a}{2}$.

Согласно теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Запишем это для нашего случая:

$a^2 = h^2 + (\frac{a}{2})^2$

Теперь выразим сторону $a$ через высоту $h$.

$a^2 = h^2 + \frac{a^2}{4}$

Перенесем слагаемое с $a^2$ в левую часть уравнения:

$a^2 - \frac{a^2}{4} = h^2$

$\frac{4a^2 - a^2}{4} = h^2$

$\frac{3a^2}{4} = h^2$

Выразим отсюда $a^2$:

$a^2 = \frac{4h^2}{3}$

Теперь найдем $a$, извлекая квадратный корень из обеих частей уравнения (поскольку длина стороны — положительная величина, рассматриваем только арифметический корень):

$a = \sqrt{\frac{4h^2}{3}} = \frac{\sqrt{4h^2}}{\sqrt{3}} = \frac{2h}{\sqrt{3}}$

Для удобства избавимся от иррациональности в знаменателе, домножив числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:

$a = \frac{2h \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{2h\sqrt{3}}{3}$

Ответ: $\frac{2h\sqrt{3}}{3}$.

Условие 2015-2022.

546. Найдите сторону равностороннего треугольника, высота которого равна $h$.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 3 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).