Номер 541, страница 119 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 16. Теорема Пифагора. Глава 3. Решение прямоугольных треугольников - номер 541, страница 119.

Условие 2023.

541. Катет прямоугольного треугольника равен 6 см, а медиана, проведённая к нему, – 5 см. Найдите гипотенузу треугольника.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть дан прямоугольный треугольник $\triangle ABC$ с прямым углом при вершине $C$ ($\angle C = 90^\circ$). Катеты треугольника — это $AC$ и $BC$, а гипотенуза — $AB$.

По условию задачи, один из катетов равен 6 см. Пусть это будет катет $BC$, то есть $BC = 6$ см.

Медиана, проведённая к этому катету, равна 5 см. Медиана к катету $BC$ — это отрезок, соединяющий вершину $A$ с серединой катета $BC$. Обозначим середину катета $BC$ точкой $M$. Тогда длина медианы $AM = 5$ см.

Так как точка $M$ является серединой катета $BC$, то длина отрезка $CM$ равна половине длины $BC$:
$CM = \frac{BC}{2} = \frac{6}{2} = 3$ см.

Рассмотрим треугольник $\triangle ACM$. В этом треугольнике угол $\angle C$ прямой, следовательно, $\triangle ACM$ является прямоугольным. Его стороны:

• катет $AC$ (который также является катетом исходного треугольника);
• катет $CM = 3$ см;
• гипотенуза $AM = 5$ см.

Применим теорему Пифагора к треугольнику $\triangle ACM$ для нахождения длины катета $AC$:
$AC^2 + CM^2 = AM^2$
$AC^2 + 3^2 = 5^2$
$AC^2 + 9 = 25$
$AC^2 = 25 - 9$
$AC^2 = 16$
$AC = \sqrt{16} = 4$ см.

Теперь мы знаем длины обоих катетов исходного прямоугольного треугольника $\triangle ABC$: $BC = 6$ см и $AC = 4$ см.

Чтобы найти гипотенузу $AB$, снова применим теорему Пифагора, но уже для треугольника $\triangle ABC$:
$AB^2 = AC^2 + BC^2$
$AB^2 = 4^2 + 6^2$
$AB^2 = 16 + 36$
$AB^2 = 52$
$AB = \sqrt{52}$

Упростим полученное значение:
$AB = \sqrt{4 \cdot 13} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{13} = 2\sqrt{13}$ см.

Ответ: $2\sqrt{13}$ см.

Условие 2015-2022.

541. Катет прямоугольного треугольника равен 6 см, а медиана, проведённая к нему, – 5 см. Найдите гипотенузу треугольника.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 3 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).