Номер 544, страница 119 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 16. Теорема Пифагора. Глава 3. Решение прямоугольных треугольников - номер 544, страница 119.

Условие 2023.

544. Найдите высоту равностороннего треугольника со стороной $a$.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Рассмотрим равносторонний треугольник со стороной $a$. Обозначим его вершины как $A$, $B$, и $C$. По определению равностороннего треугольника, все его стороны равны: $AB = BC = CA = a$. Все углы также равны и составляют $60^\circ$.

Проведем высоту $BH$ из вершины $B$ на сторону $AC$. В равностороннем треугольнике высота, проведенная к любой из сторон, является также медианой и биссектрисой.

Поскольку $BH$ — медиана, она делит сторону $AC$ на два равных отрезка: $AH = HC$. Таким образом, длина каждого из этих отрезков равна половине длины стороны $a$: $HC = \frac{a}{2}$

Поскольку $BH$ — высота, она перпендикулярна стороне $AC$. Это означает, что треугольник $BHC$ является прямоугольным, где $\angle BHC = 90^\circ$. В этом треугольнике:

• $BC$ — гипотенуза, равная $a$.
• $HC$ — катет, равный $\frac{a}{2}$.
• $BH$ — второй катет, который и является искомой высотой $h$.

Применим теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику $BHC$: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. $BC^2 = BH^2 + HC^2$

Подставим известные значения в формулу: $a^2 = h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2$

Выразим $h^2$: $h^2 = a^2 - \frac{a^2}{4}$

Приведем правую часть к общему знаменателю: $h^2 = \frac{4a^2 - a^2}{4} = \frac{3a^2}{4}$

Чтобы найти $h$, извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения (так как длина высоты — положительная величина): $h = \sqrt{\frac{3a^2}{4}} = \frac{\sqrt{3}\sqrt{a^2}}{\sqrt{4}}$

$h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Ответ: $\frac{a\sqrt{3}}{2}$

Условие 2015-2022.

544. Найдите высоту равностороннего треугольника со стороной $a$.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 3 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).