Номер 536, страница 119 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 16. Теорема Пифагора. Глава 3. Решение прямоугольных треугольников - номер 536, страница 119.

Условие 2023.

536. В окружности, радиус которой равен 10 см, проведена хорда длиной 16 см. Найдите расстояние от центра окружности до данной хорды.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть дана окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R = 10$ см. В окружности проведена хорда $AB$ длиной $16$ см. Расстояние от центра окружности до хорды — это длина перпендикуляра $OH$, опущенного из центра $O$ на хорду $AB$.

Рассмотрим треугольник $AOB$, образованный радиусами $OA$, $OB$ и хордой $AB$. Так как $OA$ и $OB$ являются радиусами одной окружности, то $OA = OB = 10$ см. Следовательно, треугольник $AOB$ является равнобедренным.

Перпендикуляр $OH$, проведенный из вершины $O$ к основанию $AB$ равнобедренного треугольника $AOB$, является также его медианой. Это означает, что он делит основание $AB$ пополам:

$AH = HB = \frac{AB}{2} = \frac{16}{2} = 8$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $AOH$ (угол $\angle AHO = 90^\circ$). В этом треугольнике:
– гипотенуза $OA$ равна радиусу окружности, то есть $OA = 10$ см;
– катет $AH$ равен половине длины хорды, то есть $AH = 8$ см;
– катет $OH$ является искомым расстоянием.

По теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

$OA^2 = AH^2 + OH^2$

Выразим из этой формулы квадрат искомого катета $OH$:

$OH^2 = OA^2 - AH^2$

Подставим известные значения:

$OH^2 = 10^2 - 8^2 = 100 - 64 = 36$

Теперь найдем длину $OH$, извлекая квадратный корень:

$OH = \sqrt{36} = 6$ см.

Ответ: 6 см.

Условие 2015-2022.

536. В окружности, радиус которой равен 10 см, проведена хорда длиной 16 см. Найдите расстояние от центра окружности до данной хорды.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 3 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).