Номер 552, страница 120 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 16. Теорема Пифагора. Глава 3. Решение прямоугольных треугольников - номер 552, страница 120.

Условие 2023.

552. Основание равнобедренного тупоугольного треугольника равно $24 \text{ см}$, а радиус окружности, описанной около него, – $13 \text{ см}$. Найдите боковую сторону треугольника.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть дан равнобедренный тупоугольный треугольник $ABC$ с основанием $AC = 24$ см и боковыми сторонами $AB = BC = b$. Радиус описанной окружности $R = 13$ см.

Проведем высоту $BH$ к основанию $AC$. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также и медианой, поэтому точка $H$ — середина отрезка $AC$.

$AH = HC = \frac{AC}{2} = \frac{24}{2} = 12$ см.

Центр описанной окружности $O$ лежит на серединном перпендикуляре к стороне $AC$, то есть на прямой, содержащей высоту $BH$.

Поскольку треугольник $ABC$ является тупоугольным (с тупым углом при вершине $B$), центр описанной окружности $O$ лежит вне треугольника, по другую сторону от основания $AC$ относительно вершины $B$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $AHO$. Его гипотенуза $OA$ является радиусом описанной окружности ($OA = R = 13$ см), а катет $AH = 12$ см. Найдем длину катета $OH$ по теореме Пифагора:

$OA^2 = AH^2 + OH^2$

$13^2 = 12^2 + OH^2$

$169 = 144 + OH^2$

$OH^2 = 169 - 144 = 25$

$OH = \sqrt{25} = 5$ см.

Так как точки $B$, $H$ и $O$ лежат на одной прямой, а $B$ и $O$ по разные стороны от $AC$, то высота треугольника $BH$ может быть найдена из соотношения $OB = BH + OH$. Расстояние $OB$ также является радиусом, т.е. $OB = R = 13$ см.

$13 = BH + 5$

$BH = 13 - 5 = 8$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$. Мы знаем длины катетов: $AH = 12$ см и $BH = 8$ см. Найдем гипотенузу $AB$, которая является боковой стороной исходного треугольника, по теореме Пифагора:

$AB^2 = AH^2 + BH^2$

$b^2 = 12^2 + 8^2$

$b^2 = 144 + 64$

$b^2 = 208$

$b = \sqrt{208} = \sqrt{16 \cdot 13} = 4\sqrt{13}$ см.

Ответ: $4\sqrt{13}$ см.

Условие 2015-2022.

552. Основание равнобедренного тупоугольного треугольника равно 24 см, а радиус окружности, описанной около него, – 13 см. Найдите боковую сторону треугольника.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 3 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).