Номер 555, страница 120 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 16. Теорема Пифагора. Глава 3. Решение прямоугольных треугольников - номер 555, страница 120.

Условие 2023.

555. Периметр равнобедренного треугольника равен 90 см, а высота, проведённая к основанию, – 15 см. Найдите стороны треугольника.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть боковые стороны равнобедренного треугольника равны $a$, а основание равно $b$. Периметр $P$ треугольника вычисляется как сумма длин всех его сторон: $P = 2a + b$.

Согласно условию, периметр равен 90 см. Это даёт нам первое уравнение: $2a + b = 90$

Высота, проведённая к основанию равнобедренного треугольника, является также его медианой. Это означает, что она делит основание на два равных отрезка длиной $b/2$. Высота ($h = 15$ см), боковая сторона ($a$) и половина основания ($b/2$) образуют прямоугольный треугольник.

Применим к этому прямоугольному треугольнику теорему Пифагора, где боковая сторона $a$ — это гипотенуза, а $h$ и $b/2$ — катеты: $a^2 = h^2 + (b/2)^2$

Подставив значение высоты $h = 15$ см, получим второе уравнение: $a^2 = 15^2 + (b/2)^2$ $a^2 = 225 + \frac{b^2}{4}$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:
1) $2a + b = 90$
2) $a^2 = 225 + \frac{b^2}{4}$

Из первого уравнения выразим $b$ через $a$: $b = 90 - 2a$

Подставим это выражение для $b$ во второе уравнение: $a^2 = 225 + \frac{(90 - 2a)^2}{4}$

Теперь решим полученное уравнение: $a^2 = 225 + \frac{8100 - 360a + 4a^2}{4}$ $a^2 = 225 + \frac{8100}{4} - \frac{360a}{4} + \frac{4a^2}{4}$ $a^2 = 225 + 2025 - 90a + a^2$ $a^2 = 2250 - 90a + a^2$

Сократим $a^2$ в обеих частях уравнения: $0 = 2250 - 90a$ $90a = 2250$ $a = \frac{2250}{90}$ $a = 25$

Таким образом, длина боковой стороны равна 25 см.

Теперь найдём длину основания $b$: $b = 90 - 2a = 90 - 2 \cdot 25 = 90 - 50 = 40$ Длина основания равна 40 см.

Ответ: боковые стороны треугольника равны по 25 см, а основание — 40 см.

Условие 2015-2022.

555. Периметр равнобедренного треугольника равен 90 см, а высота, проведенная к основанию, -- 15 см. Найдите стороны треугольника.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 3 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).