Номер 560, страница 121 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 16. Теорема Пифагора. Глава 3. Решение прямоугольных треугольников - номер 560, страница 121.

Условие 2023.

560. Точка касания окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, делит один из его катетов на отрезки длиной 2 см и 6 см. Найдите стороны треугольника.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$. В треугольник вписана окружность с центром $O$ и радиусом $r$.

Пусть $K$, $L$, $M$ — точки касания окружности со сторонами $AC$, $BC$ и $AB$ соответственно.

По условию задачи, точка касания делит один из катетов на отрезки 2 см и 6 см. Пусть это будет катет $AC$. Тогда длина этого катета равна $AC = 2 + 6 = 8$ см.

Свойства вписанной в прямоугольный треугольник окружности:

1. Отрезки касательных, проведенных из одной вершины к окружности, равны. То есть: $AK = AM$, $CK = CL$ и $BM = BL$.
2. Четырехугольник $OKCL$ (где $O$ - центр окружности) является квадратом, так как у него все углы прямые (радиусы $OK$ и $OL$ перпендикулярны касательным $AC$ и $BC$, а угол $C$ - прямой по условию) и смежные стороны равны ($OK = OL = r$). Следовательно, $CK = CL = r$.

Из этого следует, что отрезок катета от вершины прямого угла до точки касания равен радиусу вписанной окружности. Таким образом, $CK = r = 2$ см. Тогда второй отрезок этого катета $AK = 6$ см.

Используя свойство касательных, найдем отрезки на других сторонах:

• $AM = AK = 6$ см.
• $CL = CK = 2$ см.

Обозначим длину отрезков $BM$ и $BL$ через $x$, то есть $BM = BL = x$.

Теперь выразим длины всех сторон треугольника:

• Катет $AC = AK + KC = 6 + 2 = 8$ см.
• Катет $BC = BL + LC = x + 2$ см.
• Гипотенуза $AB = AM + MB = 6 + x$ см.

Применим теорему Пифагора $a^2 + b^2 = c^2$ к треугольнику $ABC$:

$AC^2 + BC^2 = AB^2$

$8^2 + (x + 2)^2 = (6 + x)^2$

Раскроем скобки и решим уравнение:

$64 + (x^2 + 4x + 4) = (36 + 12x + x^2)$

$68 + x^2 + 4x = 36 + 12x + x^2$

Вычтем $x^2$ из обеих частей уравнения:

$68 + 4x = 36 + 12x$

Перенесем слагаемые с $x$ в одну сторону, а числа в другую:

$68 - 36 = 12x - 4x$

$32 = 8x$

$x = 4$ см.

Теперь, зная $x$, найдем длины сторон треугольника:

• Катет $AC = 8$ см.
• Катет $BC = x + 2 = 4 + 2 = 6$ см.
• Гипотенуза $AB = 6 + x = 6 + 4 = 10$ см.

Ответ: стороны треугольника равны 6 см, 8 см и 10 см.

Условие 2015-2022.

560. Точка касания окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, делит один из его катетов на отрезки 2 см и 6 см. Найдите стороны треугольника.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 3 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).