Номер 567, страница 121 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 16. Теорема Пифагора. Глава 3. Решение прямоугольных треугольников - номер 567, страница 121.

Условие 2023.

567. В окружности по разные стороны от её центра проведены две параллельные хорды длиной 16 см и 32 см. Расстояние между хордами равно 16 см. Найдите радиус окружности.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть в окружности с центром O и радиусом R проведены две параллельные хорды AB и CD.

По условию задачи, длины хорд равны $AB = 16$ см и $CD = 32$ см. Хорды находятся по разные стороны от центра, и расстояние между ними равно 16 см.

Проведем из центра O перпендикуляр к хордам. Пусть он пересекает хорду AB в точке M и хорду CD в точке H. Так как хорды параллельны, отрезок MH является расстоянием между ними, и $MH = 16$ см. Поскольку хорды находятся по разные стороны от центра, точки M, O и H лежат на одной прямой.

Свойство хорды гласит, что перпендикуляр, проведенный из центра окружности к хорде, делит ее пополам. Следовательно, мы получаем половины длин хорд:

$AM = \frac{AB}{2} = \frac{16}{2} = 8$ см.

$CH = \frac{CD}{2} = \frac{32}{2} = 16$ см.

Рассмотрим два прямоугольных треугольника: $\triangle AMO$ (прямой угол при M) и $\triangle CHO$ (прямой угол при H). В них гипотенузы OA и OC равны радиусу окружности R.

Пусть расстояние от центра до хорды AB, отрезок OM, равно $x$. Поскольку хорды расположены по разные стороны от центра, то расстояние между ними складывается из расстояний от центра до каждой хорды: $MH = OM + OH$. Значит, расстояние от центра до хорды CD, отрезок OH, будет равно $16 - x$.

Применим теорему Пифагора для треугольника $\triangle AMO$:

$R^2 = AM^2 + OM^2$

$R^2 = 8^2 + x^2 = 64 + x^2$

Теперь применим теорему Пифагора для треугольника $\triangle CHO$:

$R^2 = CH^2 + OH^2$

$R^2 = 16^2 + (16 - x)^2 = 256 + 256 - 32x + x^2 = 512 - 32x + x^2$

Так как левые части обоих уравнений равны $R^2$, мы можем приравнять их правые части:

$64 + x^2 = 512 - 32x + x^2$

Вычтем $x^2$ из обеих частей уравнения:

$64 = 512 - 32x$

Решим полученное уравнение относительно $x$:

$32x = 512 - 64$

$32x = 448$

$x = \frac{448}{32} = 14$ см.

Мы нашли расстояние от центра до меньшей хорды. Теперь найдем радиус R, подставив значение $x = 14$ в первое уравнение для $R^2$:

$R^2 = 64 + x^2 = 64 + 14^2 = 64 + 196 = 260$

Отсюда находим радиус:

$R = \sqrt{260} = \sqrt{4 \cdot 65} = 2\sqrt{65}$ см.

Ответ: $2\sqrt{65}$ см.

Условие 2015-2022.

567. В окружности по разные стороны от её центра проведены две параллельные хорды длиной 16 см и 32 см. Расстояние между хордами равно 16 см. Найдите радиус окружности.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 3 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).