Номер 572, страница 122 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 16. Теорема Пифагора. Глава 3. Решение прямоугольных треугольников - номер 572, страница 122.

Условие 2023.

572. Катеты прямоугольного треугольника равны 18 см и 24 см. Найдите биссектрису треугольника, проведённую из вершины меньшего острого угла.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$. Катеты равны $AC = 18$ см и $BC = 24$ см.

1. Определение меньшего острого угла

В треугольнике против меньшей стороны лежит меньший угол. Сравним длины катетов: $AC = 18$ см и $BC = 24$ см.
Поскольку $18 < 24$, то сторона $AC < BC$.
Угол, лежащий против катета $AC$, это угол $B$. Угол, лежащий против катета $BC$, это угол $A$.
Следовательно, $\angle B < \angle A$.
Меньший острый угол - это угол $B$. Нам нужно найти биссектрису, проведённую из вершины $B$.

2. Нахождение гипотенузы

По теореме Пифагора найдем длину гипотенузы $AB$:
$AB^2 = AC^2 + BC^2$
$AB^2 = 18^2 + 24^2 = 324 + 576 = 900$
$AB = \sqrt{900} = 30$ см.

3. Использование свойства биссектрисы

Пусть $BL$ — биссектриса угла $B$, где точка $L$ лежит на катете $AC$.
По свойству биссектрисы, она делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам:
$\frac{AL}{LC} = \frac{AB}{BC}$
Подставим известные значения:
$\frac{AL}{LC} = \frac{30}{24} = \frac{5}{4}$
Также мы знаем, что $AL + LC = AC = 18$ см.
Из пропорции выразим $AL$: $AL = \frac{5}{4}LC$.
Подставим это выражение в сумму:
$\frac{5}{4}LC + LC = 18$
$\frac{9}{4}LC = 18$
$LC = 18 \cdot \frac{4}{9} = 2 \cdot 4 = 8$ см.

4. Нахождение длины биссектрисы

Рассмотрим треугольник $BCL$. Он является прямоугольным, так как угол $C$ — прямой. В этом треугольнике катеты $BC = 24$ см и $LC = 8$ см, а искомая биссектриса $BL$ является гипотенузой.
Применим теорему Пифагора к треугольнику $BCL$:
$BL^2 = BC^2 + LC^2$
$BL^2 = 24^2 + 8^2 = 576 + 64 = 640$
$BL = \sqrt{640} = \sqrt{64 \cdot 10} = 8\sqrt{10}$ см.

Ответ: $8\sqrt{10}$ см.

Условие 2015-2022.

572. Катеты прямоугольного треугольника равны 18 см и 24 см. Найдите биссектрису треугольника, проведённую из вершины меньшего острого угла.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 3 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).