Номер 577, страница 122 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 16. Теорема Пифагора. Глава 3. Решение прямоугольных треугольников - номер 577, страница 122.

Условие 2023.

577. На одной стороне угла $A$ отметили точки $B$, $C$ и $D$ так, что $AB = BC = 5$ см, $CD = 10$ см (рис. 191). Из точек $B$, $C$ и $D$ опущены перпендикуляры $BE$, $CF$ и $DM$ на другую сторону угла $A$, причём $AE = 4$ см. Найдите отношение катета, прилежащего к углу $A$, и гипотенузы:

1) в треугольнике $AEB$;

2) в треугольнике $AFC$;

3) в треугольнике $AMD$.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 6 (2023).

Поскольку из точек B, C и D опущены перпендикуляры на другую сторону угла A, то треугольники $\triangle AEB$, $\triangle AFC$ и $\triangle AMD$ являются прямоугольными (с прямыми углами при вершинах E, F и M соответственно).

Все эти три треугольника имеют общий острый угол A, следовательно, они подобны друг другу: $\triangle AEB \sim \triangle AFC \sim \triangle AMD$.

В подобных прямоугольных треугольниках отношение катета, прилежащего к общему острому углу, к гипотенузе будет одинаковым. Это отношение равно косинусу этого угла ($\cos A$).

1) в треугольнике AEB;

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle AEB$. Катет, прилежащий к углу A, — это сторона $AE$. Гипотенуза — это сторона $AB$. По условию задачи, нам даны их длины: $AE = 4$ см. $AB = 5$ см. Найдем отношение катета, прилежащего к углу A, к гипотенузе: $\frac{AE}{AB} = \frac{4}{5}$

Ответ: $\frac{4}{5}$

2) в треугольнике AFC;

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle AFC$. Катет, прилежащий к углу A, — это сторона $AF$. Гипотенуза — это сторона $AC$. Найдем длину гипотенузы $AC$: $AC = AB + BC = 5 \text{ см} + 5 \text{ см} = 10 \text{ см}$. Так как $\triangle AFC \sim \triangle AEB$, отношение соответствующих сторон равно: $\frac{AF}{AC} = \frac{AE}{AB}$ Подставим известные значения: $\frac{AF}{AC} = \frac{4}{5}$ Для проверки можно найти длину катета $AF$: $\frac{AF}{10} = \frac{4}{5} \implies AF = \frac{10 \cdot 4}{5} = 8 \text{ см}$. Тогда отношение $\frac{AF}{AC} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$.

Ответ: $\frac{4}{5}$

3) в треугольнике AMD.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle AMD$. Катет, прилежащий к углу A, — это сторона $AM$. Гипотенуза — это сторона $AD$. Найдем длину гипотенузы $AD$: $AD = AB + BC + CD = 5 \text{ см} + 5 \text{ см} + 10 \text{ см} = 20 \text{ см}$. Так как $\triangle AMD \sim \triangle AEB$, отношение соответствующих сторон равно: $\frac{AM}{AD} = \frac{AE}{AB}$ Подставим известные значения: $\frac{AM}{AD} = \frac{4}{5}$ Для проверки можно найти длину катета $AM$: $\frac{AM}{20} = \frac{4}{5} \implies AM = \frac{20 \cdot 4}{5} = 16 \text{ см}$. Тогда отношение $\frac{AM}{AD} = \frac{16}{20} = \frac{4}{5}$.

Ответ: $\frac{4}{5}$

Условие 2015-2022.

потенузы;

3) катета, прилежащего к углу B, и гипотенузы;

4) катета, прилежащего к углу B, и катета, противолежащего этому углу.

Рис. 179

577. На одной стороне угла A отметили точки B, C и D так, что $AB = BC = 5$ см,

$CD = 10$ см (рис. 179). Из точек B, C и D

опущены перпендикуляры $BE$, $CF$ и $DM$

на другую сторону угла A, причём $AE = $

= 4 см. Найдите отношение катета, прилежащего к углу A, и гипотенузы:

1) в треугольнике AEB;

2) в треугольнике AFC;

3) в треугольнике AMD.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 3 (2015-2022).