Номер 5, страница 127 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Вопросы. Параграф 17. Тригонометрические функции острого угла прямоугольного треугольника. Глава 3. Решение прямоугольных треугольников - номер 5, страница 127.

Условие 2023.

5. От чего зависят синус, косинус, тангенс и котангенс угла?

Решение 6 (2023).

Синус, косинус, тангенс и котангенс угла — это тригонометрические функции, значения которых зависят исключительно от величины самого угла. Они не зависят от размеров конкретного прямоугольного треугольника, в котором этот угол находится, или от длин его сторон по отдельности.

Чтобы понять, почему это так, рассмотрим определения этих функций в контексте прямоугольного треугольника с острым углом $\alpha$.
Синус угла $\alpha$ ($\sin \alpha$) — это отношение длины противолежащего катета к длине гипотенузы.
Косинус угла $\alpha$ ($\cos \alpha$) — это отношение длины прилежащего катета к длине гипотенузы.
Тангенс угла $\alpha$ ($\tan \alpha$) — это отношение длины противолежащего катета к длине прилежащего катета.
Котангенс угла $\alpha$ ($\cot \alpha$) — это отношение длины прилежащего катета к длине противолежащего катета.

Ключевой момент заключается в следующем: если мы возьмем два разных прямоугольных треугольника, но с одинаковым острым углом $\alpha$, эти треугольники будут подобными друг другу (по признаку подобия по двум углам, так как один угол у них общий — $\alpha$, а второй — прямой, 90°).

В подобных треугольниках отношения соответствующих сторон равны. Например, пусть у первого треугольника катеты равны $a_1$ и $b_1$, а гипотенуза $c_1$. У второго, подобного ему, — $a_2$, $b_2$ и $c_2$. Тогда будет выполняться равенство отношения противолежащего катета к гипотенузе: $ \frac{a_1}{c_1} = \frac{a_2}{c_2} $
Это означает, что синус угла $\alpha$ будет одинаковым, независимо от того, в каком из этих двух треугольников мы его вычисляем. То же самое справедливо и для косинуса, тангенса и котангенса.

Таким образом, хотя для вычисления мы используем длины сторон, сами значения функций зависят не от конкретных длин, а от их отношений, которые однозначно определяются величиной угла.

Ответ: Синус, косинус, тангенс и котангенс угла зависят только от величины (градусной или радианной меры) этого угла.

Условие 2015-2022.

5. От чего зависят синус, косинус, тангенс и котангенс угла?