Номер 7, страница 127 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Вопросы. Параграф 17. Тригонометрические функции острого угла прямоугольного треугольника. Глава 3. Решение прямоугольных треугольников - номер 7, страница 127.

Условие 2023.

7. Как связаны между собой $ \text{ctg } \alpha $, $ \text{sin } \alpha $ и $ \text{cos } \alpha $?

Решение 6 (2023).

Тригонометрические функции котангенс ($\text{ctg} \ \alpha$), синус ($\sin \alpha$) и косинус ($\cos \alpha$) связаны между собой через определение функции котангенса. Котангенс угла определяется как отношение косинуса этого угла к синусу того же угла.

Эту связь можно продемонстрировать с помощью определений тригонометрических функций в прямоугольном треугольнике. Пусть дан прямоугольный треугольник с углом $\alpha$, противолежащим катетом $a$, прилежащим катетом $b$ и гипотенузой $c$.

По определению:

• Синус угла $\alpha$ — это отношение противолежащего катета к гипотенузе: $\sin \alpha = \frac{a}{c}$
• Косинус угла $\alpha$ — это отношение прилежащего катета к гипотенузе: $\cos \alpha = \frac{b}{c}$
• Котангенс угла $\alpha$ — это отношение прилежащего катета к противолежащему: $\text{ctg} \ \alpha = \frac{b}{a}$

Теперь, если мы разделим косинус на синус, мы получим:

$\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{b/c}{a/c} = \frac{b}{c} \cdot \frac{c}{a} = \frac{b}{a}$

Как мы видим, результат этого деления ($\frac{b}{a}$) в точности совпадает с определением котангенса. Таким образом, мы получаем основную формулу, связывающую эти три функции.

Важно отметить, что данное равенство имеет смысл только тогда, когда знаменатель дроби не равен нулю, то есть при условии, что $\sin \alpha \neq 0$. Это условие выполняется для всех углов $\alpha$, кроме $\alpha = \pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Ответ: Котангенс угла связан с синусом и косинусом через формулу $\text{ctg} \ \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$.

Условие 2015-2022.

7. Как связаны между собой $ \text{ctg } \alpha $, $ \text{sin } \alpha $ и $ \text{cos } \alpha $?