Номер 13, страница 127 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Вопросы. Параграф 17. Тригонометрические функции острого угла прямоугольного треугольника. Глава 3. Решение прямоугольных треугольников - номер 13, страница 127.

Условие 2023.

13. Чему равен $\sin 60^\circ$; $\cos 60^\circ$; $\tan 60^\circ$; $\cot 60^\circ$?

Решение 6 (2023).

Для нахождения значений тригонометрических функций для угла в $60^\circ$ можно использовать прямоугольный треугольник с углами $30^\circ$, $60^\circ$ и $90^\circ$. Такой треугольник является половиной равностороннего треугольника.

Возьмем равносторонний треугольник со стороной 2. Проведем в нем высоту. Эта высота разделит его на два одинаковых прямоугольных треугольника. Рассмотрим один из них:

• Гипотенуза будет равна стороне исходного треугольника, то есть 2.
• Один из катетов будет равен половине основания, то есть $2/2 = 1$. Этот катет лежит напротив угла $30^\circ$ и прилежит к углу $60^\circ$.
• Второй катет (высоту) найдем по теореме Пифагора: $\sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{4 - 1} = \sqrt{3}$. Этот катет лежит напротив угла $60^\circ$.

Используя определения тригонометрических функций, найдем искомые значения.

sin 60°

Синус — это отношение противолежащего катета к гипотенузе.

$\sin 60^\circ = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

cos 60°

Косинус — это отношение прилежащего катета к гипотенузе.

$\cos 60^\circ = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$

tg 60°

Тангенс — это отношение противолежащего катета к прилежащему катету.

$\text{tg } 60^\circ = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3}$

Ответ: $\sqrt{3}$

ctg 60°

Котангенс — это отношение прилежащего катета к противолежащему катету.

$\text{ctg } 60^\circ = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{противолежащий катет}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Избавляясь от иррациональности в знаменателе, получаем: $\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{3}$

Условие 2015-2022.

13. Чему равен $\sin 60^\circ$? $\cos 60^\circ$? $\tan 60^\circ$? $\cot 60^\circ$?