Номер 583, страница 128 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 17. Тригонометрические функции острого угла прямоугольного треугольника. Глава 3. Решение прямоугольных треугольников - номер 583, страница 128.

Условие 2023.

583. Найдите значение выражения:

1) $\cos^2 45^\circ + \operatorname{tg}^2 60^\circ$;

2) $2\cos^2 60^\circ - \sin^2 30^\circ + \sin 60^\circ \operatorname{ctg} 60^\circ$.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

1) $cos^2 45^\circ + tg^2 60^\circ$

Для вычисления значения выражения воспользуемся табличными значениями тригонометрических функций.
Значение косинуса для угла $45^\circ$: $cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Значение тангенса для угла $60^\circ$: $tg 60^\circ = \sqrt{3}$.
Теперь подставим эти значения в исходное выражение, возводя их в квадрат:
$cos^2 45^\circ = (cos 45^\circ)^2 = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
$tg^2 60^\circ = (tg 60^\circ)^2 = (\sqrt{3})^2 = 3$.
Сложим полученные результаты:
$\frac{1}{2} + 3 = 3\frac{1}{2} = 3.5$.

Ответ: $3.5$.

2) $2cos^2 60^\circ - sin^2 30^\circ + sin 60^\circ ctg 60^\circ$

Для вычисления значения этого выражения также используем табличные значения тригонометрических функций.
$cos 60^\circ = \frac{1}{2}$
$sin 30^\circ = \frac{1}{2}$
$sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$ctg 60^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}$
Подставляем значения в выражение:
$2 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 - \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}$
Вычислим значение каждого члена выражения:
$2 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$.
$\left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$.
$\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = \frac{1}{2}$.
Теперь выполним арифметические операции:
$\frac{1}{2} - \frac{1}{4} + \frac{1}{2} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{4}{4} - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.
Заметим, что можно было упростить последний член выражения, используя тождество $ctg \alpha = \frac{cos \alpha}{sin \alpha}$: $sin 60^\circ \cdot ctg 60^\circ = sin 60^\circ \cdot \frac{cos 60^\circ}{sin 60^\circ} = cos 60^\circ = \frac{1}{2}$. Результат вычислений был бы тем же.

Ответ: $\frac{3}{4}$.

Условие 2015-2022.

583. Найдите значение выражения:

1) $\cos^2 45^\circ + \tan^2 60^\circ$;

2) $2\cos^2 60^\circ - \sin^2 30^\circ + \sin 60^\circ \cot 60^\circ$.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 3 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).