Номер 588, страница 128 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 17. Тригонометрические функции острого угла прямоугольного треугольника. Глава 3. Решение прямоугольных треугольников - номер 588, страница 128.

Условие 2023.

588. Найдите $cos\beta$, $tg\beta$ и $ctg\beta$, если $sin\beta = \frac{4}{5}$.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 6 (2023).

Для нахождения $\cos\beta$, $\tg\beta$ и $\ctg\beta$, зная $\sin\beta$, мы будем использовать основные тригонометрические тождества.

По условию дано, что $\sin\beta = \frac{4}{5}$. Так как значение синуса положительно ($\sin\beta > 0$), угол $\beta$ может находиться либо в первой (I), либо во второй (II) координатной четверти. Это означает, что задача имеет два возможных набора решений.

cos β

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $\sin^2\beta + \cos^2\beta = 1$.

Выразим из этого тождества $\cos^2\beta$ и подставим известное значение $\sin\beta$:

$\cos^2\beta = 1 - \sin^2\beta = 1 - \left(\frac{4}{5}\right)^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{25-16}{25} = \frac{9}{25}$.

Теперь извлечем квадратный корень, чтобы найти $\cos\beta$. В зависимости от четверти, знак косинуса будет разным:

1. Если угол $\beta$ находится в I четверти, то $\cos\beta > 0$, следовательно $\cos\beta = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$.

2. Если угол $\beta$ находится во II четверти, то $\cos\beta < 0$, следовательно $\cos\beta = -\sqrt{\frac{9}{25}} = -\frac{3}{5}$.

Ответ: $\cos\beta = \frac{3}{5}$ или $\cos\beta = -\frac{3}{5}$.

tg β

Тангенс определяется по формуле $\tg\beta = \frac{\sin\beta}{\cos\beta}$. Мы должны рассчитать его для каждого из двух возможных значений $\cos\beta$:

1. Если $\cos\beta = \frac{3}{5}$ (I четверть):

$\tg\beta = \frac{4/5}{3/5} = \frac{4}{5} \cdot \frac{5}{3} = \frac{4}{3}$.

2. Если $\cos\beta = -\frac{3}{5}$ (II четверть):

$\tg\beta = \frac{4/5}{-3/5} = -\frac{4}{3}$.

Ответ: $\tg\beta = \frac{4}{3}$ или $\tg\beta = -\frac{4}{3}$.

ctg β

Котангенс определяется как величина, обратная тангенсу: $\ctg\beta = \frac{1}{\tg\beta}$ (или по формуле $\ctg\beta = \frac{\cos\beta}{\sin\beta}$). Рассчитаем его для каждого из найденных значений $\tg\beta$:

1. Если $\tg\beta = \frac{4}{3}$ (I четверть):

$\ctg\beta = \frac{1}{4/3} = \frac{3}{4}$.

2. Если $\tg\beta = -\frac{4}{3}$ (II четверть):

$\ctg\beta = \frac{1}{-4/3} = -\frac{3}{4}$.

Ответ: $\ctg\beta = \frac{3}{4}$ или $\ctg\beta = -\frac{3}{4}$.

Таким образом, существует два полных набора решений, в зависимости от того, в какой четверти находится угол $\beta$:

• Если $\beta$ — угол I четверти: $\cos\beta = \frac{3}{5}$, $\tg\beta = \frac{4}{3}$, $\ctg\beta = \frac{3}{4}$.
• Если $\beta$ — угол II четверти: $\cos\beta = -\frac{3}{5}$, $\tg\beta = -\frac{4}{3}$, $\ctg\beta = -\frac{3}{4}$.

Если в контексте задачи предполагается, что $\beta$ — это острый угол (например, в прямоугольном треугольнике), то правильным будет только первый набор ответов с положительными значениями.

Условие 2015-2022.

588. Найдите $cos \beta$, $tg \beta$ и $ctg \beta$, если $sin \beta = \frac{4}{5}$.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 3 (2015-2022).