Номер 590, страница 129 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 17. Тригонометрические функции острого угла прямоугольного треугольника. Глава 3. Решение прямоугольных треугольников - номер 590, страница 129.

Условие 2023.

590. Основание равнобедренного треугольника равно 24 см, а боковая сторона – 13 см. Найдите синус, косинус, тангенс и котангенс угла между боковой стороной треугольника и высотой, проведённой к его основанию.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$, где $AC$ — основание, а $AB$ и $BC$ — боковые стороны. По условию, $AC = 24$ см и $AB = BC = 13$ см.

Проведем высоту $BH$ из вершины $B$ к основанию $AC$. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой. Следовательно, она делит основание $AC$ на два равных отрезка: $AH = HC = \frac{AC}{2} = \frac{24}{2} = 12$ см.

Высота $BH$ образует с основанием прямой угол, поэтому треугольник $ABH$ является прямоугольным. В этом треугольнике гипотенуза $AB = 13$ см, а катет $AH = 12$ см. Найдем длину второго катета $BH$ (высоты) по теореме Пифагора: $BH^2 = AB^2 - AH^2 = 13^2 - 12^2 = 169 - 144 = 25$. Отсюда $BH = \sqrt{25} = 5$ см.

Нахождение синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла между боковой стороной и высотой

Искомый угол — это угол между боковой стороной $AB$ и высотой $BH$, то есть $\angle ABH$. В прямоугольном треугольнике $ABH$ для этого угла имеем: противолежащий катет $AH = 12$ см, прилежащий катет $BH = 5$ см и гипотенузу $AB = 13$ см.

Вычислим тригонометрические функции по их определениям для прямоугольного треугольника:
Синус угла (отношение противолежащего катета к гипотенузе): $\sin(\angle ABH) = \frac{AH}{AB} = \frac{12}{13}$.
Косинус угла (отношение прилежащего катета к гипотенузе): $\cos(\angle ABH) = \frac{BH}{AB} = \frac{5}{13}$.
Тангенс угла (отношение противолежащего катета к прилежащему): $\tan(\angle ABH) = \frac{AH}{BH} = \frac{12}{5}$.
Котангенс угла (отношение прилежащего катета к противолежащему): $\cot(\angle ABH) = \frac{BH}{AH} = \frac{5}{12}$.
Ответ: синус равен $\frac{12}{13}$, косинус равен $\frac{5}{13}$, тангенс равен $\frac{12}{5}$, котангенс равен $\frac{5}{12}$.

Условие 2015-2022.

590. Основание равнобедренного треугольника равно 24 см, а боковая сторона – 13 см. Найдите синус, косинус, тангенс и котангенс угла между боковой стороной треугольника и высотой, проведённой к его основанию.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 3 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).