Номер 594, страница 129 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 17. Тригонометрические функции острого угла прямоугольного треугольника. Глава 3. Решение прямоугольных треугольников - номер 594, страница 129.

Условие 2023.

594. В трапеции $ABCD$ известно, что $AB=CD=9 \text{ см}$, $BC=10 \text{ см}$, $AD=14 \text{ см}$.

Найдите синус, косинус, тангенс и котангенс угла $A$ трапеции.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Дана трапеция $ABCD$, в которой $AB = CD = 9$ см, $BC = 10$ см, $AD = 14$ см. Так как боковые стороны равны ($AB = CD$), трапеция является равнобедренной.

Для нахождения тригонометрических функций угла $A$ проведем высоту $BH$ из вершины $B$ на основание $AD$. В равнобедренной трапеции высота, опущенная из вершины тупого угла, делит большее основание на два отрезка, один из которых равен полуразности оснований, а другой — полусумме оснований. Найдем длину отрезка $AH$ (меньшего из отрезков).

$AH = \frac{AD - BC}{2}$

$AH = \frac{14 - 10}{2} = \frac{4}{2} = 2$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABH$. В нем известны гипотенуза $AB = 9$ см и катет $AH = 2$ см. Найдем второй катет $BH$ (высоту трапеции) по теореме Пифагора:

$BH^2 = AB^2 - AH^2$

$BH^2 = 9^2 - 2^2 = 81 - 4 = 77$

$BH = \sqrt{77}$ см.

Имея длины всех сторон прямоугольного треугольника $\triangle ABH$ (противолежащий катет $BH=\sqrt{77}$, прилежащий катет $AH=2$ и гипотенуза $AB=9$), можем найти значения тригонометрических функций угла $A$.

синус

Синус острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к гипотенузе.

$\sin A = \frac{BH}{AB} = \frac{\sqrt{77}}{9}$

Ответ: $\sin A = \frac{\sqrt{77}}{9}$.

косинус

Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение прилежащего катета к гипотенузе.

$\cos A = \frac{AH}{AB} = \frac{2}{9}$

Ответ: $\cos A = \frac{2}{9}$.

тангенс

Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к прилежащему.

$\tan A = \frac{BH}{AH} = \frac{\sqrt{77}}{2}$

Ответ: $\tan A = \frac{\sqrt{77}}{2}$.

котангенс

Котангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение прилежащего катета к противолежащему.

$\cot A = \frac{AH}{BH} = \frac{2}{\sqrt{77}} = \frac{2\sqrt{77}}{77}$

Ответ: $\cot A = \frac{2\sqrt{77}}{77}$.

Условие 2015-2022.

594. В трапеции $ABCD$ известно, что $AB = CD = 9$ см, $BC = 10$ см, $AD = 14$ см. Найдите синус, косинус, тангенс и котангенс угла $A$ трапеции.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 3 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).