Номер 601, страница 129 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 17. Тригонометрические функции острого угла прямоугольного треугольника. Глава 3. Решение прямоугольных треугольников - номер 601, страница 129.

Условие 2023.

601. В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = BC$, отрезки $BD$ и $CK$ — высоты треугольника, $\cos A = \frac{3}{7}$. Найдите отношение $CK : BD$.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Поскольку в треугольнике $ABC$ стороны $AB = BC$, он является равнобедренным с основанием $AC$. Отрезки $BD$ и $CK$ — высоты, проведенные к основанию $AC$ и боковой стороне $AB$ соответственно. Это означает, что $BD \perp AC$ и $CK \perp AB$.

Площадь треугольника $S_{ABC}$ можно выразить двумя способами через его высоты:
1. Используя основание $AC$ и высоту $BD$: $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD$.
2. Используя основание $AB$ и высоту $CK$: $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CK$.

Приравняв оба выражения для площади, получим:
$\frac{1}{2} AC \cdot BD = \frac{1}{2} AB \cdot CK$
Умножив обе части на 2, получим:
$AC \cdot BD = AB \cdot CK$

Из этого равенства выразим искомое отношение высот $CK : BD$ (или $\frac{CK}{BD}$):
$\frac{CK}{BD} = \frac{AC}{AB}$

Теперь задача сводится к нахождению отношения сторон $\frac{AC}{AB}$. В равнобедренном треугольнике $ABC$ высота $BD$, проведенная к основанию, является также медианой. Следовательно, точка $D$ — середина стороны $AC$, и $AC = 2 \cdot AD$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABD$ (угол $\angle BDA = 90^\circ$). По определению косинуса острого угла в прямоугольном треугольнике:
$\cos A = \frac{AD}{AB}$
Отсюда выразим $AD$:
$AD = AB \cdot \cos A$

Теперь подставим это выражение в формулу для $AC$:
$AC = 2 \cdot AD = 2 \cdot (AB \cdot \cos A) = 2 \cdot AB \cdot \cos A$

Найдем отношение $\frac{AC}{AB}$:
$\frac{AC}{AB} = \frac{2 \cdot AB \cdot \cos A}{AB} = 2 \cos A$

По условию задачи дано, что $\cos A = \frac{3}{7}$. Подставим это значение:
$\frac{AC}{AB} = 2 \cdot \frac{3}{7} = \frac{6}{7}$

Поскольку мы установили, что $\frac{CK}{BD} = \frac{AC}{AB}$, то искомое отношение равно:
$\frac{CK}{BD} = \frac{6}{7}$

Ответ: $\frac{6}{7}$

Условие 2015-2022.

601. В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = BC$, $BD$ и $CK$ — высоты треугольника, $\cos A = \frac{3}{7}$. Найдите отношение $CK : BD$.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 3 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).