Номер 604, страница 130 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 17. Тригонометрические функции острого угла прямоугольного треугольника. Глава 3. Решение прямоугольных треугольников - номер 604, страница 130.

Условие 2023.

604. Хорды $AB$ и $BC$ окружности перпендикулярны, а расстояние между их серединами равно 12 см. Найдите радиус окружности.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть O — центр окружности, R — её радиус. Пусть M и N — середины хорд AB и BC соответственно.

Согласно свойству хорды, отрезок, соединяющий центр окружности с серединой хорды, перпендикулярен этой хорде. Следовательно, $OM \perp AB$ и $ON \perp BC$. Это означает, что $\angle OMB = 90^\circ$ и $\angle ONB = 90^\circ$.

По условию задачи, хорды AB и BC перпендикулярны, то есть $\angle ABC = 90^\circ$.

Рассмотрим четырехугольник OMBN. В нем три угла являются прямыми: $\angle OMB = 90^\circ$, $\angle MBN = \angle ABC = 90^\circ$, и $\angle BNO = 90^\circ$. Сумма углов в четырехугольнике равна $360^\circ$. Следовательно, четвертый угол $\angle MON$ также должен быть прямым: $\angle MON = 360^\circ - 3 \times 90^\circ = 90^\circ$.

Поскольку все четыре угла в четырехугольнике OMBN прямые, он является прямоугольником.

Одно из свойств прямоугольника — равенство его диагоналей. Диагоналями прямоугольника OMBN являются отрезки OB и MN. Таким образом, их длины равны: $OB = MN$.

Отрезок OB соединяет центр окружности O с точкой B, лежащей на окружности. Следовательно, длина OB равна радиусу окружности R. То есть, $R = OB$.

Из условия нам известно, что расстояние между серединами хорд равно 12 см, то есть $MN = 12$ см.

Подставляя известные значения, получаем: $R = OB = MN = 12$ см.

Ответ: 12 см.

Условие 2015-2022.

604. Хорды $AB$ и $BC$ окружности перпендикулярны, а расстояние между их серединами равно 12 см. Найдите радиус окружности.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 3 (2015-2022).