Номер 602, страница 129 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 17. Тригонометрические функции острого угла прямоугольного треугольника. Глава 3. Решение прямоугольных треугольников - номер 602, страница 129.

Условие 2023.

602. Докажите, что углы $ABC$ и $DEF$, изображённые на рисунке 196, равны.

Рис. 196

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Для доказательства равенства углов $ \angle ABC $ и $ \angle DEF $ воспользуемся методом координат. Введем прямоугольную систему координат так, чтобы ее оси были параллельны линиям сетки, а за единицу измерения примем длину стороны одной клетки.

1. Определение координат вершин углов

Выберем начало координат в удобном месте, например, в точке E. Тогда точка E будет иметь координаты $ E(0, 0) $. Исходя из этого и расположения других точек на сетке, определим их координаты:

• Чтобы попасть из E в F, нужно сместиться на 1 клетку влево и на 2 клетки вверх. Значит, координаты F: $ F(-1, 2) $.
• Чтобы попасть из E в D, нужно сместиться на 2 клетки вправо и на 2 клетки вниз. Значит, координаты D: $ D(2, -2) $.
• Чтобы попасть из E в B, нужно сместиться на 1 клетку вправо. Значит, координаты B: $ B(1, 0) $.
• Чтобы попасть из B в A, нужно сместиться на 2 клетки вправо. Значит, координаты A: $ A(1+2, 0) = A(3, 0) $.
• Чтобы попасть из B в C, нужно сместиться на 3 клетки вправо и на 1 клетку вверх. Значит, координаты C: $ C(1+3, 0+1) = C(4, 1) $.

2. Вычисление тангенса угла ABC

Угол $ \angle ABC $ образован лучами BA и BC. Найдем угловые коэффициенты прямых, на которых лежат эти лучи. Вершина угла находится в точке $ B(1, 0) $.

Угловой коэффициент прямой BA (проходящей через точки $ B(1, 0) $ и $ A(3, 0) $):
$ k_{BA} = \frac{y_A - y_B}{x_A - x_B} = \frac{0 - 0}{3 - 1} = \frac{0}{2} = 0 $.

Угловой коэффициент прямой BC (проходящей через точки $ B(1, 0) $ и $ C(4, 1) $):
$ k_{BC} = \frac{y_C - y_B}{x_C - x_B} = \frac{1 - 0}{4 - 1} = \frac{1}{3} $.

Тангенс угла $ \theta $ между двумя прямыми с угловыми коэффициентами $ k_1 $ и $ k_2 $ вычисляется по формуле $ \tan(\theta) = \left| \frac{k_2 - k_1}{1 + k_1 k_2} \right| $.$ \tan(\angle ABC) = \left| \frac{k_{BC} - k_{BA}}{1 + k_{BA} k_{BC}} \right| = \left| \frac{\frac{1}{3} - 0}{1 + 0 \cdot \frac{1}{3}} \right| = \left| \frac{\frac{1}{3}}{1} \right| = \frac{1}{3} $.

3. Вычисление тангенса угла DEF

Угол $ \angle DEF $ образован лучами ED и EF. Вершина угла находится в точке $ E(0, 0) $.

Угловой коэффициент прямой ED (проходящей через точки $ E(0, 0) $ и $ D(2, -2) $):
$ k_{ED} = \frac{y_D - y_E}{x_D - x_E} = \frac{-2 - 0}{2 - 0} = \frac{-2}{2} = -1 $.

Угловой коэффициент прямой EF (проходящей через точки $ E(0, 0) $ и $ F(-1, 2) $):
$ k_{EF} = \frac{y_F - y_E}{x_F - x_E} = \frac{2 - 0}{-1 - 0} = \frac{2}{-1} = -2 $.

Применим ту же формулу для тангенса угла между прямыми:$ \tan(\angle DEF) = \left| \frac{k_{EF} - k_{ED}}{1 + k_{ED} k_{EF}} \right| = \left| \frac{-2 - (-1)}{1 + (-1)(-2)} \right| = \left| \frac{-1}{1 + 2} \right| = \left| \frac{-1}{3} \right| = \frac{1}{3} $.

4. Заключение

Мы получили, что $ \tan(\angle ABC) = \frac{1}{3} $ и $ \tan(\angle DEF) = \frac{1}{3} $.Поскольку оба угла на рисунке являются острыми (меньше $ 90^\circ $), а их тангенсы равны, то равны и сами углы: $ \angle ABC = \angle DEF $.

Ответ: Равенство углов $ \angle ABC $ и $ \angle DEF $ доказано.

Условие 2015-2022.

602. Докажите, что углы $ABC$ и $DEF$, изображённые на рисунке 184, равны.

Рис. 184

Упражнения для повторения

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 3 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).