Номер 605, страница 130 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 17. Тригонометрические функции острого угла прямоугольного треугольника. Глава 3. Решение прямоугольных треугольников - номер 605, страница 130.

Условие 2023.

605. В треугольнике $ABC$ известно, что отрезок $BK$ – высота, отрезок $AM$ – биссектриса, $BK = 26$ см, $AB : AC = 6 : 7$. Из точки $M$ опущен перпендикуляр $MD$ на сторону $AC$. Найдите отрезок $MD$.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 6 (2023).

1. По свойству биссектрисы треугольника, отрезок $AM$ делит сторону $BC$ на части, пропорциональные прилежащим сторонам $AB$ и $AC$. То есть:
$\frac{BM}{MC} = \frac{AB}{AC}$
Из условия известно, что $AB : AC = 6 : 7$, следовательно:
$\frac{BM}{MC} = \frac{6}{7}$

2. Введем коэффициент пропорциональности $x$. Тогда $BM = 6x$ и $MC = 7x$. Длина всей стороны $BC$ будет равна сумме ее частей:
$BC = BM + MC = 6x + 7x = 13x$
Теперь мы можем найти отношение отрезка $MC$ ко всей стороне $BC$:
$\frac{MC}{BC} = \frac{7x}{13x} = \frac{7}{13}$

3. Рассмотрим отрезки $BK$ и $MD$. По условию $BK$ – высота, значит $BK \perp AC$. Отрезок $MD$ опущен как перпендикуляр к стороне $AC$, значит $MD \perp AC$. Поскольку две прямые, перпендикулярные третьей прямой, параллельны между собой, то $BK \parallel MD$.

4. Рассмотрим треугольники $\triangle MDC$ и $\triangle BKC$.

• $\angle C$ — общий для обоих треугольников.
• $\angle MDC = \angle BKC = 90^\circ$ (так как $MD$ и $BK$ — перпендикуляры к $AC$).

Следовательно, $\triangle MDC \sim \triangle BKC$ (по двум углам).

5. Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответствующих сторон:
$\frac{MD}{BK} = \frac{MC}{BC}$
Мы знаем, что $BK = 26$ см и, как мы нашли в пункте 2, $\frac{MC}{BC} = \frac{7}{13}$. Подставим эти значения в пропорцию:
$\frac{MD}{26} = \frac{7}{13}$
Выразим $MD$:
$MD = 26 \cdot \frac{7}{13} = 2 \cdot 7 = 14$ см.

Ответ: 14 см.

Условие 2015-2022.

605. В треугольнике $ABC$ известно, что $BK$ – высота, $AM$ – биссектриса, $BK = 26$ см, $AB : AC = 6 : 7$. Из точки $M$ опущен перпендикуляр $MD$ на сторону $AC$. Найдите отрезок $MD$.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 3 (2015-2022).