Номер 600, страница 129 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 17. Тригонометрические функции острого угла прямоугольного треугольника. Глава 3. Решение прямоугольных треугольников - номер 600, страница 129.

Условие 2023.

600. В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = BC$, $BD$ и $AM$ – высоты треугольника, $BD : AM = 3 : 1$. Найдите $\cos C$.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть дан треугольник $ABC$, в котором $AB = BC$. Это означает, что треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $AC$.

$BD$ и $AM$ — высоты треугольника. $BD \perp AC$ и $AM \perp BC$.

Площадь треугольника $ABC$ можно выразить двумя способами через его высоты:
1. Используя основание $AC$ и высоту $BD$: $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD$.
2. Используя основание $BC$ и высоту $AM$: $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AM$.

Приравняем эти два выражения для площади:
$\frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AM$
$AC \cdot BD = BC \cdot AM$

По условию задачи дано отношение высот $BD : AM = 3 : 1$. Пусть $AM = x$, тогда $BD = 3x$. Подставим эти значения в полученное равенство:
$AC \cdot (3x) = BC \cdot x$
Разделив обе части на $x$ (так как длина высоты не может быть равна нулю), получим соотношение между сторонами треугольника:
$3 \cdot AC = BC$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $BDC$ (угол $\angle BDC = 90^\circ$, так как $BD$ — высота). В равнобедренном треугольнике $ABC$ высота $BD$, проведенная к основанию, является также медианой. Следовательно, точка $D$ — середина стороны $AC$, и $AC = 2 \cdot DC$.

Подставим $AC = 2 \cdot DC$ в соотношение $3 \cdot AC = BC$:
$3 \cdot (2 \cdot DC) = BC$
$6 \cdot DC = BC$

Теперь в прямоугольном треугольнике $BDC$ найдем косинус угла $C$. По определению, косинус острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению прилежащего катета к гипотенузе:
$\cos C = \frac{DC}{BC}$

Подставим найденное соотношение $BC = 6 \cdot DC$ в эту формулу:
$\cos C = \frac{DC}{6 \cdot DC} = \frac{1}{6}$

Ответ: $\frac{1}{6}$

Условие 2015-2022.

600. В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = BC$, $BD$ и $AM$ — высоты треугольника, $BD : AM = 3 : 1$. Найдите $\cos C$.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 3 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).