Номер 603, страница 129 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 17. Тригонометрические функции острого угла прямоугольного треугольника. Глава 3. Решение прямоугольных треугольников - номер 603, страница 129.

Условие 2023.

603. Биссектрисы углов $A$ и $B$ параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $M$, $AB = 6$ см. Найдите радиус окружности, которая проходит через точки $A$, $B$ и $M$.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 6 (2023).

Рассмотрим параллелограмм $ABCD$. Сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна $180^\circ$. Следовательно, для стороны $AB$ имеем: $\angle DAB + \angle CBA = 180^\circ$.

По условию, $AM$ — биссектриса угла $A$, а $BM$ — биссектриса угла $B$. Это означает, что:

$\angle MAB = \frac{1}{2} \angle DAB$

$\angle MBA = \frac{1}{2} \angle CBA$

Рассмотрим треугольник $ABM$. Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Таким образом:

$\angle AMB + \angle MAB + \angle MBA = 180^\circ$

Подставим выражения для углов $\angle MAB$ и $\angle MBA$ в это равенство:

$\angle AMB + \frac{1}{2} \angle DAB + \frac{1}{2} \angle CBA = 180^\circ$

$\angle AMB + \frac{1}{2} (\angle DAB + \angle CBA) = 180^\circ$

Мы знаем, что $\angle DAB + \angle CBA = 180^\circ$, поэтому:

$\angle AMB + \frac{1}{2} (180^\circ) = 180^\circ$

$\angle AMB + 90^\circ = 180^\circ$

$\angle AMB = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$

Таким образом, треугольник $ABM$ является прямоугольным, где $\angle AMB$ — прямой угол, а сторона $AB$ — гипотенуза.

Окружность, которая проходит через три точки $A$, $B$ и $M$, является описанной окружностью для треугольника $ABM$. Центр описанной окружности прямоугольного треугольника находится в середине его гипотенузы. Следовательно, радиус $R$ этой окружности равен половине длины гипотенузы $AB$.

По условию $AB = 6$ см. Найдем радиус:

$R = \frac{AB}{2} = \frac{6}{2} = 3$ см.

Ответ: 3 см.

Условие 2015-2022.

603. Биссектрисы углов $A$ и $B$ параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $M$, $AB = 6$ см. Найдите радиус окружности, которая проходит через точки $A, B$ и $M$.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 3 (2015-2022).