Номер 597, страница 129 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 17. Тригонометрические функции острого угла прямоугольного треугольника. Глава 3. Решение прямоугольных треугольников - номер 597, страница 129.

Условие 2023.

597. Докажите тождество:

1) $1 + \tan^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$;

2) $1 + \cot^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha}$.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 6 (2023).

1) Чтобы доказать тождество $1 + \text{tg}^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$, мы преобразуем его левую часть, используя основные тригонометрические определения и тождества.

По определению, тангенс угла $\alpha$ равен отношению синуса этого угла к его косинусу: $\text{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$.

Возводя в квадрат, получаем: $\text{tg}^2 \alpha = \left(\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\right)^2 = \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}$.

Теперь подставим это выражение в левую часть исходного тождества:

$1 + \text{tg}^2 \alpha = 1 + \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}$

Чтобы сложить единицу и дробь, приведем их к общему знаменателю $\cos^2 \alpha$:

$1 + \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = \frac{\cos^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} + \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = \frac{\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}$

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством, которое гласит, что сумма квадратов синуса и косинуса одного и того же угла равна единице: $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$.

Заменим числитель дроби на единицу:

$\frac{\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$

Мы преобразовали левую часть тождества и получили выражение, в точности совпадающее с правой частью. Следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

2) Чтобы доказать тождество $1 + \text{ctg}^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha}$, мы также преобразуем его левую часть.

По определению, котангенс угла $\alpha$ равен отношению косинуса этого угла к его синусу: $\text{ctg} \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$.

Возводя в квадрат, получаем: $\text{ctg}^2 \alpha = \left(\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}\right)^2 = \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}$.

Подставим это выражение в левую часть доказываемого тождества:

$1 + \text{ctg}^2 \alpha = 1 + \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}$

Приведем слагаемые к общему знаменателю $\sin^2 \alpha$:

$1 + \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} = \frac{\sin^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} + \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} = \frac{\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}$

Вновь используем основное тригонометрическое тождество: $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$.

Подставляем единицу в числитель:

$\frac{\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} = \frac{1}{\sin^2 \alpha}$

Левая часть тождества после преобразований стала равна правой части. Это означает, что тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

Условие 2015-2022.

597. Докажите тождество:

1) $1 + \text{tg}^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$;

2) $1 + \text{ctg}^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha}$.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 3 (2015-2022).