Номер 595, страница 129 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 17. Тригонометрические функции острого угла прямоугольного треугольника. Глава 3. Решение прямоугольных треугольников - номер 595, страница 129.

Условие 2023.

595. В трапеции $ABCD$ известно, что $BC \parallel AD$, $\angle A = 90^\circ$, $AB = 4$ см, $BC = 8$ см, $AD = 12$ см. Найдите углы трапеции, прилежащие к её большей боковой стороне.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть дана трапеция $ABCD$, в которой основания $BC \parallel AD$. По условию задачи, $\angle A = 90^\circ$, что означает, что трапеция является прямоугольной. Боковая сторона $AB$ перпендикулярна основаниям и является высотой трапеции. Даны длины: $AB = 4$ см, $BC = 8$ см, $AD = 12$ см.

Для того чтобы найти углы, прилежащие к большей боковой стороне, сначала необходимо найти длины обеих боковых сторон ($AB$ и $CD$) и сравнить их.

Проведем высоту $CH$ из вершины $C$ на основание $AD$. Так как $BC \parallel AD$ и $AB \perp AD$, $CH \perp AD$, то четырехугольник $ABCH$ является прямоугольником.

Из свойств прямоугольника следует, что $CH = AB = 4$ см и $AH = BC = 8$ см.

Теперь мы можем найти длину отрезка $HD$ на большем основании: $HD = AD - AH = 12 - 8 = 4$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $CHD$ ($\angle CHD = 90^\circ$). По теореме Пифагора найдем длину гипотенузы $CD$, которая является второй боковой стороной трапеции:
$CD^2 = CH^2 + HD^2$
$CD^2 = 4^2 + 4^2 = 16 + 16 = 32$
$CD = \sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2}$ см.

Теперь сравним длины боковых сторон $AB$ и $CD$:
$AB = 4$ см
$CD = 4\sqrt{2}$ см
Поскольку $\sqrt{2} > 1$, то $4\sqrt{2} > 4$. Следовательно, $CD$ является большей боковой стороной трапеции.

Найдем углы, прилежащие к большей боковой стороне $CD$. Это углы $\angle D$ и $\angle BCD$.

Угол $\angle D$ найдем из прямоугольного треугольника $CHD$. Так как катеты $CH$ и $HD$ равны ($CH = HD = 4$ см), треугольник $CHD$ является равнобедренным прямоугольным треугольником. Углы при его основании равны, поэтому $\angle D = \angle HCD = 45^\circ$.

Угол $\angle BCD$ трапеции состоит из двух углов: $\angle BCH$ и $\angle HCD$. Угол $\angle BCH$ является прямым, так как $ABCH$ — прямоугольник ($\angle BCH = 90^\circ$). Угол $\angle HCD$ мы нашли ранее, он равен $45^\circ$. Таким образом, полный угол при вершине $C$ равен:
$\angle BCD = \angle BCH + \angle HCD = 90^\circ + 45^\circ = 135^\circ$.

Итак, углы, прилежащие к большей боковой стороне $CD$, равны $45^\circ$ и $135^\circ$.

Ответ: $45^\circ$ и $135^\circ$.

Условие 2015-2022.

595. В трапеции $ABCD$ известно, что $BC \parallel AD$, $\angle A = 90^\circ$, $AB = 4$ см, $BC = 8$ см, $AD = 12$ см. Найдите углы трапеции.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 3 (2015-2022).