Номер 589, страница 128 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 17. Тригонометрические функции острого угла прямоугольного треугольника. Глава 3. Решение прямоугольных треугольников - номер 589, страница 128.

Условие 2023.

589. Синус острого угла прямоугольного треугольника равен $\frac{\sqrt{3}}{3}$. Найдите синус, косинус, тангенс и котангенс второго острого угла этого треугольника.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть в прямоугольном треугольнике острые углы равны $\alpha$ и $\beta$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, а так как один из углов прямой ($90^\circ$), то сумма двух острых углов равна $90^\circ$:
$\alpha + \beta = 90^\circ$

Из этого следует, что $\beta = 90^\circ - \alpha$.

По условию, синус одного из острых углов равен $\frac{\sqrt{3}}{3}$. Пусть это будет угол $\alpha$:
$\sin(\alpha) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Нам нужно найти синус, косинус, тангенс и котангенс второго острого угла, то есть угла $\beta$. Для этого воспользуемся формулами приведения:

• $\sin(\beta) = \sin(90^\circ - \alpha) = \cos(\alpha)$
• $\cos(\beta) = \cos(90^\circ - \alpha) = \sin(\alpha)$
• $\tan(\beta) = \tan(90^\circ - \alpha) = \cot(\alpha)$
• $\cot(\beta) = \cot(90^\circ - \alpha) = \tan(\alpha)$

Для решения задачи найдем сначала значения $\cos(\alpha)$, $\tan(\alpha)$ и $\cot(\alpha)$, зная $\sin(\alpha)$.

1. Найдем $\cos(\alpha)$ с помощью основного тригонометрического тождества $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$.
$\cos^2(\alpha) = 1 - \sin^2(\alpha) = 1 - \left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^2 = 1 - \frac{3}{9} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.
Так как $\alpha$ — острый угол, его косинус положителен:
$\cos(\alpha) = \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$.

2. Теперь найдем $\tan(\alpha)$ и $\cot(\alpha)$.
$\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{3}}{\frac{\sqrt{6}}{3}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}} = \sqrt{\frac{3}{6}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
$\cot(\alpha) = \frac{1}{\tan(\alpha)} = \frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$.

Теперь мы можем найти все искомые значения для угла $\beta$.

синус

Синус второго острого угла $\beta$ равен косинусу первого угла $\alpha$:
$\sin(\beta) = \cos(\alpha) = \frac{\sqrt{6}}{3}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{6}}{3}$

косинус

Косинус второго острого угла $\beta$ равен синусу первого угла $\alpha$:
$\cos(\beta) = \sin(\alpha) = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{3}$

тангенс

Тангенс второго острого угла $\beta$ равен котангенсу первого угла $\alpha$:
$\tan(\beta) = \cot(\alpha) = \sqrt{2}$.
Ответ: $\sqrt{2}$

котангенс

Котангенс второго острого угла $\beta$ равен тангенсу первого угла $\alpha$:
$\cot(\beta) = \tan(\alpha) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$

Условие 2015-2022.

589. Синус острого угла прямоугольного треугольника равен $\frac{\sqrt{3}}{3}$. Найдите синус, косинус, тангенс и котангенс второго острого угла этого треугольника.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 3 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).