Номер 587, страница 128 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 17. Тригонометрические функции острого угла прямоугольного треугольника. Глава 3. Решение прямоугольных треугольников - номер 587, страница 128.

Условие 2023.

587. Найдите $ \sin \alpha $, $ \operatorname{tg} \alpha $ и $ \operatorname{ctg} \alpha $, если $ \cos \alpha = \frac{1}{3} $.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Для решения задачи воспользуемся основными тригонометрическими тождествами. Нам дано, что $cos α = 1/3$. Так как косинус положительный, угол $α$ может находиться в I или IV координатной четверти. Это означает, что для синуса, тангенса и котангенса будет два возможных значения (положительное и отрицательное).

sin α

Для нахождения $sin α$ используем основное тригонометрическое тождество: $sin^2 α + cos^2 α = 1$.

Подставим известное значение $cos α = 1/3$ в это тождество:

$sin^2 α + (1/3)^2 = 1$

$sin^2 α + 1/9 = 1$

Выразим $sin^2 α$:

$sin^2 α = 1 - 1/9 = 8/9$

Теперь извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$sin α = ±√(8/9) = ±(√8)/(√9) = ±(2√2)/3$

Таким образом, мы получили два возможных значения для синуса, в зависимости от четверти, в которой находится угол $α$.

Ответ: $sin α = (2√2)/3$ или $sin α = -(2√2)/3$.

tg α

Тангенс угла определяется по формуле $tg α = sin α / cos α$. Мы должны рассчитать его для каждого из найденных значений $sin α$.

1. Если $sin α = (2√2)/3$ (угол в I четверти):

$tg α = ((2√2)/3) / (1/3) = (2√2)/3 ⋅ 3/1 = 2√2$

2. Если $sin α = -(2√2)/3$ (угол в IV четверти):

$tg α = (-(2√2)/3) / (1/3) = -(2√2)/3 ⋅ 3/1 = -2√2$

Ответ: $tg α = 2√2$ или $tg α = -2√2$.

ctg α

Котангенс угла можно найти по формуле $ctg α = 1 / tg α$ (или $ctg α = cos α / sin α$). Используем найденные значения для тангенса.

1. Если $tg α = 2√2$:

$ctg α = 1 / (2√2)$

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $√2$:

$ctg α = (1 ⋅ √2) / (2√2 ⋅ √2) = √2 / (2 ⋅ 2) = √2 / 4$

2. Если $tg α = -2√2$:

$ctg α = 1 / (-2√2) = - (1 ⋅ √2) / (2√2 ⋅ √2) = -√2 / (2 ⋅ 2) = -√2 / 4$

Ответ: $ctg α = √2 / 4$ или $ctg α = -√2 / 4$.

Условие 2015-2022.

587. Найдите $sin \alpha$, $tg \alpha$ и $ctg \alpha$, если $cos \alpha = \frac{1}{3}$.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 3 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).