Номер 584, страница 128 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 17. Тригонометрические функции острого угла прямоугольного треугольника. Глава 3. Решение прямоугольных треугольников - номер 584, страница 128.

Условие 2023.

584. Найдите значение выражения:

1) $\cos^2 30^{\circ} - \sin^2 45^{\circ}$;

2) $3 \operatorname{tg}^2 30^{\circ} + 4 \operatorname{tg} 45^{\circ} + \cos 30^{\circ} \operatorname{ctg} 30^{\circ}$.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

1) Для того чтобы найти значение выражения $ \cos^2{30^\circ} - \sin^2{45^\circ} $, необходимо использовать значения тригонометрических функций для стандартных углов.

Из таблицы тригонометрических значений мы знаем, что:

$ \cos{30^\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2} $

$ \sin{45^\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2} $

Теперь подставим эти значения в исходное выражение:

$ \cos^2{30^\circ} - \sin^2{45^\circ} = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 - \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 $

Возведем в квадрат каждую дробь:

$ \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{(\sqrt{3})^2}{2^2} = \frac{3}{4} $

$ \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{(\sqrt{2})^2}{2^2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $

Выполним вычитание полученных значений:

$ \frac{3}{4} - \frac{1}{2} = \frac{3}{4} - \frac{2}{4} = \frac{3-2}{4} = \frac{1}{4} $

Ответ: $ \frac{1}{4} $

2) Чтобы найти значение выражения $ 3\text{tg}^2{30^\circ} + 4\text{tg}{45^\circ} + \cos{30^\circ}\text{ctg}{30^\circ} $, также воспользуемся табличными значениями тригонометрических функций.

Из таблицы тригонометрических значений мы знаем, что:

$ \text{tg}{30^\circ} = \frac{1}{\sqrt{3}} $ (или $ \frac{\sqrt{3}}{3} $)

$ \text{tg}{45^\circ} = 1 $

$ \cos{30^\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2} $

$ \text{ctg}{30^\circ} = \sqrt{3} $

Подставим значения в выражение и вычислим каждое слагаемое по отдельности.

Первое слагаемое: $ 3\text{tg}^2{30^\circ} = 3 \cdot \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 = 3 \cdot \frac{1}{3} = 1 $

Второе слагаемое: $ 4\text{tg}{45^\circ} = 4 \cdot 1 = 4 $

Третье слагаемое: $ \cos{30^\circ}\text{ctg}{30^\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sqrt{3} = \frac{3}{2} $

Также можно было упростить третье слагаемое, используя тригонометрическое тождество $ \text{ctg}{\alpha} = \frac{\cos{\alpha}}{\sin{\alpha}} $:

$ \cos{30^\circ}\text{ctg}{30^\circ} = \cos{30^\circ} \cdot \frac{\cos{30^\circ}}{\sin{30^\circ}} = \frac{\cos^2{30^\circ}}{\sin{30^\circ}} = \frac{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2}{\frac{1}{2}} = \frac{\frac{3}{4}}{\frac{1}{2}} = \frac{3}{4} \cdot \frac{2}{1} = \frac{3}{2} $

Теперь сложим все полученные значения:

$ 1 + 4 + \frac{3}{2} = 5 + \frac{3}{2} = \frac{10}{2} + \frac{3}{2} = \frac{13}{2} $

Ответ: $ \frac{13}{2} $

Условие 2015-2022.

584. Найдите значение выражения:

1) $\cos^2 30^\circ - \sin^2 45^\circ$;

2) $3\text{tg}^2 30^\circ + 4\text{tg } 45^\circ + \cos 30^\circ \text{ctg } 30^\circ$.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 3 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).