Номер 582, страница 128 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 17. Тригонометрические функции острого угла прямоугольного треугольника. Глава 3. Решение прямоугольных треугольников - номер 582, страница 128.

Условие 2023.

582. Катеты прямоугольного треугольника равны 3 см и 2 см. Найдите:

1) тангенс угла, прилежащего к большему катету;

2) синус угла, противолежащего меньшему катету;

3) косинус угла, прилежащего к большему катету;

4) котангенс угла, противолежащего большему катету.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть дан прямоугольный треугольник, катеты которого равны $a = 3$ см (больший катет) и $b = 2$ см (меньший катет).
Для нахождения синуса и косинуса нам понадобится гипотенуза $c$. Найдем ее по теореме Пифагора:
$c^2 = a^2 + b^2$
$c^2 = 3^2 + 2^2 = 9 + 4 = 13$
$c = \sqrt{13}$ см.

Обозначим углы треугольника: $\alpha$ — угол, противолежащий катету $a$; $\beta$ — угол, противолежащий катету $b$.

1) тангенс угла, прилежащего к большему катету;
Угол, прилежащий к большему катету $a=3$, это угол $\beta$. Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к прилежащему.
$\text{tg}(\beta) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{b}{a} = \frac{2}{3}$.
Ответ: $\frac{2}{3}$.

2) синус угла, противолежащего меньшему катету;
Угол, противолежащий меньшему катету $b=2$, это угол $\beta$. Синус острого угла — это отношение противолежащего катета к гипотенузе.
$\sin(\beta) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{b}{c} = \frac{2}{\sqrt{13}}$.
Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{13}$:
$\frac{2}{\sqrt{13}} = \frac{2 \cdot \sqrt{13}}{\sqrt{13} \cdot \sqrt{13}} = \frac{2\sqrt{13}}{13}$.
Ответ: $\frac{2\sqrt{13}}{13}$.

3) косинус угла, прилежащего к большему катету;
Угол, прилежащий к большему катету $a=3$, это угол $\beta$. Косинус острого угла — это отношение прилежащего катета к гипотенузе.
$\cos(\beta) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{a}{c} = \frac{3}{\sqrt{13}}$.
Избавимся от иррациональности в знаменателе:
$\frac{3}{\sqrt{13}} = \frac{3 \cdot \sqrt{13}}{\sqrt{13} \cdot \sqrt{13}} = \frac{3\sqrt{13}}{13}$.
Ответ: $\frac{3\sqrt{13}}{13}$.

4) котангенс угла, противолежащего большему катету.
Угол, противолежащий большему катету $a=3$, это угол $\alpha$. Котангенс острого угла — это отношение прилежащего катета к противолежащему.
$\text{ctg}(\alpha) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{противолежащий катет}} = \frac{b}{a} = \frac{2}{3}$.
Ответ: $\frac{2}{3}$.

Условие 2015-2022.

582. Катеты прямоугольного треугольника равны 3 см и 2 см. Найдите:

1) тангенс угла, прилежащего к большему катету;

2) синус угла, противолежащего меньшему катету;

3) косинус угла, прилежащего к большему катету;

4) котангенс угла, противолежащего большему катету.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 3 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).